【題目】如圖,在△ABC,AB=AC,以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點D、E,點F在AC的延長線上,且∠CBF= ∠CAB.
(1)求證:直線BF是⊙O的切線;
(2)若AB=5,sin∠CBF= ,求BC和BF的長.

【答案】
(1)證明:連接AE,

∵AB是⊙O的直徑,

∴∠AEB=90°,

∴∠1+∠2=90°.

∵AB=AC,

∴∠1= ∠CAB.

∵∠CBF= ∠CAB,

∴∠1=∠CBF

∴∠CBF+∠2=90°

即∠ABF=90°

∵AB是⊙O的直徑,

∴直線BF是⊙O的切線


(2)解:過點C作CG⊥AB于G.

∵sin∠CBF= ,∠1=∠CBF,

∴sin∠1= ,

∵在Rt△AEB中,∠AEB=90°,AB=5,

∴BE=ABsin∠1=

∵AB=AC,∠AEB=90°,

∴BC=2BE=2 ,

在Rt△ABE中,由勾股定理得AE= =2 ,

∴sin∠2= = = ,cos∠2= = = ,

在Rt△CBG中,可求得GC=4,GB=2,

∴AG=3,

∵GC∥BF,

∴△AGC∽△ABF,

∴BF= =


【解析】(1)連接AE,利用直徑所對的圓周角是直角,從而判定直角三角形,利用直角三角形兩銳角相等得到直角,從而證明∠ABF=90°.(2)利用已知條件證得△AGC∽△ABF,利用比例式求得線段的長即可.

練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】2016年《政府工作報告》中提出了十大新詞匯,為了解同學們對新詞匯的關注度,某數(shù)學興趣小組選取其中的A:“互聯(lián)網(wǎng)+政務服務”,B:“工匠精神”,C:“光網(wǎng)城市”,D:“大眾旅游時代”四個熱詞在全校學生中進行了抽樣調(diào)查,要求被調(diào)查的每位同學只能從中選擇一個我最關注的熱詞.根據(jù)調(diào)查結果,該小組繪制了如下的兩幅不完整的統(tǒng)計圖.
請你根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息,解答下列問題:
(1)本次調(diào)查中,一共調(diào)查了多少名同學?
(2)條形統(tǒng)計圖中,m= , n=
(3)扇形統(tǒng)計圖中,熱詞B所在扇形的圓心角是多少度?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AC的垂直平分線分別與AC,BC及AB的延長線相交于點D,E,F(xiàn),且BF=BC.⊙O是△BEF的外接圓,∠EBF的平分線交EF于點G,交⊙O于點H,連接BD,F(xiàn)H.
(1)求證:△ABC≌△EBF;
(2)試判斷BD與⊙O的位置關系,并說明理由;
(3)若AB=1,求HGHB的值.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知,點P是直角三角形ABC斜邊AB上一動點(不與A,B重合),分別過A,B向直線CP作垂線,垂足分別為E,F(xiàn),Q為斜邊AB的中點.

(1)如圖1,當點P與點Q重合時,AE與BF的位置關系是   ,QE與QF的數(shù)量關系式   ;

(2)如圖2,當點P在線段AB上不與點Q重合時,試判斷QE與QF的數(shù)量關系,并給予證明;

(3)如圖3,當點P在線段BA(或AB)的延長線上時,此時(2)中的結論是否成立?請畫出圖形并給予證明.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】在數(shù)學、外語、語文及其他學科中,某校七年級開展了“同學們最喜歡哪門學科”的調(diào)查(該校七年級共有200人,每人只能選一項).

(1)調(diào)查的問題是什么?調(diào)查的對象是誰?

(2)在被調(diào)查的200名學生中,有40人最喜歡語文,60人最喜歡數(shù)學,80人最喜歡外語,其余的人選擇其他.請把七年級的學生最喜歡某學科的人數(shù)及其占學生總數(shù)的百分比填入下表:

語文

外語

數(shù)學

其他

人數(shù)

占學生總數(shù)的百分比

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,已知拋物線y= (x+2)(x﹣4)與x軸交于點A、B(點A位于點B的左側),與y軸交于點C,CD∥x軸交拋物線于點D,M為拋物線的頂點.

(1)求點A、B、C的坐標;
(2)設動點N(﹣2,n),求使MN+BN的值最小時n的值;
(3)P是拋物線上一點,請你探究:是否存在點P,使以P、A、B為頂點的三角形與△ABD相似(△PAB與△ABD不重合)?若存在,求出點P的坐標;若不存在,說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】某海域有A、B、C三艘船正在捕魚作業(yè),C船突然出現(xiàn)故障,向A、B兩船發(fā)出緊急求救信號,此時B船位于A船的北偏西72°方向,距A船24海里的海域,C船位于A船的北偏東33°方向,同時又位于B船的北偏東78°方向.

(1)求∠ABC的度數(shù);
(2)A船以每小時30海里的速度前去救援,問多長時間能到出事地點.(結果精確到0.01小時).
(參考數(shù)據(jù): ≈1.414, ≈1.732)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】深圳市民中心廣場上有旗桿如圖①所示,某學校數(shù)學興趣小組測量了該旗桿的高度.如圖②,某一時刻,旗桿AB的影子一部分落在平臺上,另一部分落在斜坡上,測得落在平臺上的影長BC為16米,落在斜坡上的影長CD為8米,AB⊥BC;同一時刻,太陽光線與水平面的夾角為 45°,1米的標桿EF豎立在斜坡上的影長FG為2米,求旗桿的高度.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,在ABC中,C=90°,EAB的中點,且DEAB于點E,∠CAD:∠EAD=1:2,則BBAC的度數(shù)為(

A. 30°,60° B. 32°,58° C. 36°,54° D. 20°,70°

查看答案和解析>>

同步練習冊答案