Question

直線y=-

4

3

x+8分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，動(dòng)P從點(diǎn)O出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段OA勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A后立刻以原速沿AO返回，點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段AB勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)．
（1）求△APQ的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；
（2）在點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，PQ的垂直平分線交OB于E，垂足為D，是否存在t的值，使得四邊形QBED為直角梯形？若存在，求出t的值；若不存在，說(shuō)明理由；
（3）當(dāng)DE經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，求直線PQ的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)勾股定理，可得AB的長(zhǎng)，根據(jù)正弦三角函數(shù)，可得QC的長(zhǎng)，根據(jù)三角形的面積公式，可得函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)直角梯形的判定，可得答案；
（3）根據(jù)垂直平分線的關(guān)系，可得斜率之間的關(guān)系，可得t值，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式．

解答：解：（1）如圖1，作QC⊥OA與C點(diǎn)，，
直線y=-

4

3

x+8分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，
A（6，0）B（0，8），由勾股定理得
AB=10，
sin∠A=

OB

AB

=

8

10

=

4

5

，cos∠A=

OA

AB

=

6

10

=

3

5

，
OP=t，AQ=t，
AP=6-t，QC=

4

5

t，
S_△APQ=

- 2 5 t2+ 12 5 t ;(0＜t＜6) 2 5 t2- 12 5 t ;(6＜t＜8)

；

（2）不存在t的值，使得四邊形QBED為直角梯形，理由如下：
DE垂直平分PQ，DE⊥OB，
即PQ∥OB，
即Q、P點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，
t=

3

5

t，t不存在；

（3）如圖2，
E點(diǎn)與O點(diǎn)重合，P（t，0）Q（6-

3

5

t，

4

5

t），
OD垂直平分PA，
D（3+

1

5

t，

2

5

t）
k_OD•k_PQ=-1，得

2 5 t

3+ 1 5 t

•

4 5 t

6- 8 5 t

=-1
解得t=5
P（5，0），Q（3，4）
設(shè)PQ的解析式為y=kx+b，
PQ：y=kx+b的圖象過(guò)點(diǎn)P，Q，得

5k+b=0 3k+b=4

，
解得

k=-2 b=10

，
故直線PQ的解析式：y=-2x+10．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)的綜合題，利用了銳角三角函數(shù)，三角形的面積公式，直角梯形的判定，利用兩直線斜率間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．