Question

已知：如下圖，四邊形ABCD是等腰梯形，其中AD∥BC，AD＝2，BC＝4，AB＝CD＝．點M從點B開始，以每秒2個單位長的速度向點C運動；點N從點D開始，以每秒1個單位長的速度向點A運動，若點M，N同時開始運動，點M與點C不重合，運動時間為t(t＞0)．過點N作NP垂直于BC，交BC于點P，交AC于點Q，連結MQ．

(1)用含t的代數(shù)式表示QP的長；

(2)設△CMQ的面積為S，求出S與t的函數(shù)關系式；

(3)求出t為何值時，△CMQ為等腰三角形．

(說明：問題(3)是額外加分題，加分幅度為1～4分)

Answer 1

答案：
解析：

(1)過點A作AE⊥BC，交BC于點E，如下圖．由AD＝2，BC＝4，AB＝CD＝， 　　得AE＝2．　　(3分) 　　∵ND＝t，∴PC＝1＋t． 　　∴． 　　即．∴．　　(6分) 　　(2)∵點M以每秒2個單位長運動，∴BM＝2t，CM＝4－2t．　　(8分) 　　∴S△CMQ＝＝． 　　即S＝．　　(12分) 　　(3)若QM＝QC，∵QP⊥MC，∴MP＝CP．而MP＝4－(1＋t＋2t)＝3－3t， 　　即1＋t＝3－3t，∴t＝．　　(加1分) 　　若CQ＝CM，∵CQ2＝CP2＋PQ2＝， 　　∴CQ＝．∵CM＝4－2t，∴＝4－2t． 　　∴．　　(加2分) 　　若MQ＝MC，∵MQ2＝MP2＋PQ2＝， 　　∴＝，即． 　　解得t＝或t＝－1(舍去)．∴t＝．　　(加3分) 　　∴當t的值為，，時，△CMQ為等腰三角形．　　(加4分)