Question

已知AC∥BD，求∠PAC，∠PBD，∠APB之間的關(guān)系．

Answer 1

考點(diǎn)：平行線的性質(zhì)

專題：

分析：在圖1、圖2、圖3中，過P作MN∥AC，根據(jù)平行線的性質(zhì)可找到三個(gè)角之間的關(guān)系，在圖4、圖5中，直接利用平行線的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)可求得三個(gè)角之間的關(guān)系．

解答：解：如圖1，過P作MN∥AC，

∵AC∥BD，
∴MN∥BD，
∴∠PAC=∠APM，∠PBD=∠BPM，
∴∠APB=∠APM+∠BPM=∠PAC+∠PBD；
如圖2，過P作MN∥AC，

∵AC∥BD，
∴MN∥BD，
∴∠PAC+∠APN=180°，∠PBD+∠BPN=180°，
∴∠APB=∠APN+∠BPN=180°-∠PAC+180°-∠PBD=360°-∠PAC-∠PBD，
∴∠APB+∠PBD+∠PAC=360°；
如圖3，過P作MN∥AC，同理可得MN∥BD，

∴∠PAC+∠APN=180°，∠PBD=∠BPN，
∴∠APB=∠APN+∠BPN=180°-∠PAC+∠PBD，
即∠APB+∠PAC-∠PBD=180°；
如圖4，設(shè)AC與PD交于點(diǎn)E，

∵AC∥BD，
∴∠PEC=∠PBD，
又∵∠PEC=∠PAC+∠APB，
∴∠PBD=∠PAC+∠APB；
如圖5，設(shè)AP與BD交于點(diǎn)E，

∵AC∥BD，
∴∠PAC=∠AEB，
又∵∠AEB=∠PBD+∠APB，
∴∠PAC=∠APB+∠PBD．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查平行線的性質(zhì)，掌握兩直線平行同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．