Question

求證：三角形內(nèi)任一點(diǎn)到三頂點(diǎn)距離之和大于周長(zhǎng)的一半而小于周長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形三邊關(guān)系

專題：證明題

分析：先根據(jù)兩邊之和大于第三邊得出

1

2

（AB+BC+CA）＜OA+OB+OC，再根據(jù)兩邊之差小于第三邊即可得出OA+OB+OC＜AB+AC+BC即可．

解答：已知：O為△ABC內(nèi)的任一點(diǎn)，求證：

1

2

（AB+BC+CA）＜OA+OB+OC＜AB+AC+BC．
證明：∵三角形中任意兩邊之和大于第三邊，
∴OA+OB＞AB，OA+OC＞CA，OB+OC＞BC，
∴2（OA+OB+OC）＞AB+BC+CA，即

1

2

（AB+BC+CA）＜OA+OB+OC；
∵三角形中任意兩邊之差小于第三邊，
∴CA-CO＞AO，BC-BO＞CO，AB-AO＞BO，
兩邊相加得，CA+AB+BC-（AO+BO+CO）＞AO+BO+CO，即AC+AB+BC＞2（AO+BO+CO）
∴AC+AB+BC＞AO+BO+CO
∴

1

2

（AB+BC+CA）＜OA+OB+OC＜AB+AC+BC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是三角形的三邊關(guān)系，熟知三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊是解答此題的關(guān)鍵．