Question

如圖，拋物線y=x²-2x-3與直線y=-x+b交于A，C兩點，與x軸交于點A，B．點P為直線AC下方拋物線上的一個動點，過點P作PN⊥AB交AC與點M，垂足為N，連接AP，CP．設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m．
（1）求b的值；
（2）用含m的代數(shù)式表示PM的長，并求使得△APC面積最大時，點P的坐標(biāo)；
（3）是否存在點P，使得△CMP為等腰三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）拋物線解析式令y=0求出方程的解，確定出A與B坐標(biāo)，把A坐標(biāo)代入直線解析式求出b的值即可；
（2）把P橫坐標(biāo)m代入拋物線解析式表示出NP，代入直線解析式表示出MN，由NP-MN表示出MP，過C作CE垂直于x軸，三角形APC面積=三角形AMP面積+三角形CMP面積，根據(jù)AE為定值，得到MP最大時，三角形APC面積最大，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出此時m的值，進而確定出P坐標(biāo)；
（3）分三種情況考慮：MC=PC；MP=MC；PM=PC時，分別求出滿足題意P的坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）令x²-2x-3=0，
解得：x₁=-1，x₂=3，即A=（-1，0），B（3，0），
把A（-1，0）代入y=-x+b，得b=-1，
則一次函數(shù)解析式為y=-x-1；
（2）把x=m代入拋物線解析式得：y=m²-2m-3；代入直線解析式得：y=-m-1，
∴NP=-（m²-2m-3），MN=-（-m-1），
∴MP=NP-NM=-（m²-2m-3）+（-m-1）=-m²+m+2（-1＜m＜2），
作CE⊥AB于點E，則S_△APC=S_△AMP+S_△CMP=

1

2

MP•AN+

1

2

MP•NE=

1

2

MP•AE，
∵AE為定值，∴MP取最大值時，△APC面積最大，
∵-1＜0，
∴當(dāng)m=-

b

2a

=

1

2

時，△APC面積最大，此時P（

1

2

，-

15

4

）；
（3）分三種情況考慮：當(dāng)P為拋物線頂點，即MC=PC時，坐標(biāo)為P₁（1，-4）；
當(dāng)P為C關(guān)于拋物線對稱軸對稱的點，即MP=MC時，P₂（0，-3）；
當(dāng)P為MC的垂直平分線上點，即PM=PC時，P₃（

2

-1，2-4

2

）．

點評：此題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：二次函數(shù)與x軸的交點，一次函數(shù)與二次函數(shù)圖象的交點，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，以及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．