【題目】已知點(diǎn)A,B分別是x軸、y軸上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)C,D是某個(gè)函數(shù)圖象上的點(diǎn),當(dāng)四邊形ABCD(A,B,C,D各點(diǎn)依次排列)為正方形時(shí),稱這個(gè)正方形為此函數(shù)圖象的伴侶正方形.例如:如圖,正方形ABCD是一次函數(shù)y=x+1圖象的其中一個(gè)伴侶正方形.
(1)若某函數(shù)是一次函數(shù)y=x+1,求它的圖象的所有伴侶正方形的邊長(zhǎng);
(2)若某函數(shù)是反比例函數(shù)y= (k>0),他的圖象的伴侶正方形為ABCD,點(diǎn)D(2,m)(m<2)在反比例函數(shù)圖象上,求m的值及反比例函數(shù)解析式;
(3)若某函數(shù)是二次函數(shù)y=ax2+c(a≠0),它的圖象的伴侶正方形為ABCD,C、D中的一個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)為(3,4).寫出伴侶正方形在拋物線上的另一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo) , 寫出符合題意的其中一條拋物線解析式 , 并判斷你寫出的拋物線的伴侶正方形的個(gè)數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù) .
【答案】
(1)解:如圖1,
當(dāng)點(diǎn)A在x軸正半軸,點(diǎn)B在y軸負(fù)半軸上時(shí),
∵OC=0D=1,
∴正方形ABCD的邊長(zhǎng)CD= ;∠OCD=∠ODC=45°,
當(dāng)點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸、點(diǎn)B在y軸正半軸上時(shí),
設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為a,
易得CL=小正方形的邊長(zhǎng)=DK=LK,故3a=CD= .
解得a= ,所以小正方形邊長(zhǎng)為 ,
∴一次函數(shù)y=x+1圖象的伴侶正方形的邊長(zhǎng)為 或
(2)解:如圖2,作DE,CF分別垂直于x、y軸,
易知△ADE≌△BAO≌△CBF
此時(shí),m<2,DE=OA=BF=m,OB=CF=AE=2﹣m,
∴OF=BF+OB=2,
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(2﹣m,2),
∴2m=2(2﹣m),解得m=1.
反比例函數(shù)的解析式為y= .
(3)(3,4),y=﹣ x2+ ,偶數(shù)
【解析】解:(3)實(shí)際情況是拋物線開口向上的兩種情況中,另一個(gè)點(diǎn)都在(3,4)的左側(cè),而開口向下時(shí),另一點(diǎn)都在(3,4)的右側(cè),與上述解析明顯不符合
①當(dāng)點(diǎn)A在x軸正半軸上,點(diǎn)B在y軸正半軸上,點(diǎn)C坐標(biāo)為(3,4)時(shí):另外一個(gè)頂點(diǎn)為(4,1),對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是y=﹣ x2+ ;
②當(dāng)點(diǎn)A在x 軸正半軸上,點(diǎn) B在 y軸正半軸上,點(diǎn)D 坐標(biāo)為(3,4)時(shí):不存在,
③當(dāng)點(diǎn)A 在 x 軸正半軸上,點(diǎn) B在 y軸負(fù)半軸上,點(diǎn)C 坐標(biāo)為(3,4)時(shí):不存在
④當(dāng)點(diǎn)A在x 軸正半軸上,點(diǎn)B在y軸負(fù)半軸上,點(diǎn)D坐標(biāo)為(3,4)時(shí):另外一個(gè)頂點(diǎn)C為(﹣1,3),對(duì)應(yīng)的函數(shù)的解析式是y= x2+ ;
⑤當(dāng)點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸上,點(diǎn)B在y軸負(fù)半軸上,點(diǎn)D坐標(biāo)為(3,4)時(shí),另一個(gè)頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是(7,﹣3)時(shí),對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是y=﹣ ;
⑥當(dāng)點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸上,點(diǎn)B在y軸負(fù)半軸上,點(diǎn)C坐標(biāo)為(3,4)時(shí),另一個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是(﹣4,7)時(shí),對(duì)應(yīng)的拋物線為y= x2+ ;
∵由拋物線的伴侶正方形的定義知,一條拋物線有兩個(gè)伴侶正方形,是成對(duì)出現(xiàn)的,
∴所求出的任何拋物線的伴侶正方形個(gè)數(shù)為偶數(shù).
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用正方形的性質(zhì),掌握正方形四個(gè)角都是直角,四條邊都相等;正方形的兩條對(duì)角線相等,并且互相垂直平分,每條對(duì)角線平分一組對(duì)角;正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形;正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o;正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形即可以解答此題.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,C,D是⊙O上的點(diǎn),∠CDB=20°,過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,則∠E= .
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【題目】如圖,將矩形紙片的兩只直角分別沿EF、DF翻折,點(diǎn)B恰好落在AD邊上的點(diǎn)B′處,點(diǎn)C恰好落在邊B′F上.若AE=3,BE=5,則FC= .
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【題目】小明家住房戶型呈長(zhǎng)方形,平面圖如下(單位:米).現(xiàn)準(zhǔn)備鋪設(shè)整個(gè)長(zhǎng)方形地面,其中三間臥室鋪設(shè)木地板,其它區(qū)域鋪設(shè)地磚.(房間內(nèi)隔墻寬度忽略不計(jì))
(1)求a的值;
(2)請(qǐng)用含x的代數(shù)式分別表示鋪設(shè)地面需要木地板和地磚各多少平方米;
(3)按市場(chǎng)價(jià)格,木地板單價(jià)為300元/平方米,地磚單價(jià)為100元/平方米.裝修公司有A,B兩種活動(dòng)方案,如表:
已知臥室2的面積為21平方米,則小方家應(yīng)選擇哪種活動(dòng),使鋪設(shè)地面總費(fèi)用(含材料費(fèi)及安裝費(fèi))更低?
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形的頂點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為,,點(diǎn)是的中點(diǎn),點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)是坐標(biāo)平面內(nèi)的任意一點(diǎn).若以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是邊長(zhǎng)為5的菱形時(shí),則點(diǎn)的坐標(biāo)為__________.
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【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,斜邊AB=4 ,O是AB的中點(diǎn),以O(shè)為圓心,線段OC的長(zhǎng)為半徑畫圓心角為90°的扇形OEF, 經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,則圖中陰影部分的面積為( )
A.2π﹣4
B.4﹣π
C.π﹣2
D.4π﹣8
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠A=84°,點(diǎn)O是∠ABC,∠ACB角平分線的交點(diǎn),點(diǎn)P是∠BOC,∠OCB角平分線的交點(diǎn),若∠P=100°,則∠ACB的大小為__________
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【題目】一只跳蚤在第一象限及x軸、y軸上跳動(dòng),在第一秒鐘,它從原點(diǎn)跳動(dòng)到(0,1),然后接著按圖中箭頭所示方向跳動(dòng)[即(0,0)→(0,1)→(1,1)→(1,0)→…],且每秒跳動(dòng)一個(gè)單位,那么第 2020 秒時(shí)跳蚤所在位置的坐標(biāo)是( )
A.(5,44)B.(4,44)C.(4,45)D.(5,45)
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