Question

【題目】已知∠MAN．
（1）用尺規(guī)完成下列作圖：（保留作圖痕跡，不寫作法）

①作∠MAN的平分線AE；
②在AE上任取一點(diǎn)F，作AF的垂直平分線分別與AM、AN交于P、Q；
（2）在（1）的條件下，線段AP與AQ有什么數(shù)量關(guān)系，請直接寫出結(jié)論．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖所示：

①AE為所求作的角平分線；

②PQ為所求作的垂直平分線

（2）解：AP=AQ．

證明：∵PQ是AB的垂直平分線，

∴∠PGA=∠QGA=90°，

∵AE是∠MAN的平分線，

∴∠PAG=∠QAG，

在△PAG和△QAG中，

，

∴△PAG≌△QAG（ASA），

∴AP=AQ

【解析】（1）①利用角平分線的作法得出即可；②利用垂直平分線的作法得出即可；（2）利用垂直平分線的性質(zhì)得出∠PGA=∠QGA，進(jìn)而得出△PAG≌△QAG（ASA），則AP=AQ，即可得出答案．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的線段垂直平分線的性質(zhì)，需要了解垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線；線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等才能得出正確答案．