Question

（2012•梁子湖區(qū)模擬）已知拋物線y=ax²+bx+3經(jīng)過A（-3，0），B（-1，0）兩點(diǎn)如圖1，頂點(diǎn)為M．
（1）a、b的值；
（2）設(shè)拋物線與y軸的交點(diǎn)為Q如圖1，直線y=-2x+9與直線OM交于點(diǎn)D．現(xiàn)將拋物線平移，保持頂點(diǎn)在直線OD上．當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)平移到D點(diǎn)時(shí)，Q點(diǎn)移至N點(diǎn)，求拋物線上的兩點(diǎn)M、Q間所夾的曲線

MQ

掃過的區(qū)域的面積；
（3）設(shè)直線y=-2x+9與y軸交于點(diǎn)C，與直線OM交于點(diǎn)D如圖2．現(xiàn)將拋物線平移，保持頂點(diǎn)在直線OD上．若平移的拋物線與射線CD（含端點(diǎn)C）沒有公共點(diǎn)時(shí)，試探求其頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍；
（4）如圖3，將拋物線平移，當(dāng)頂點(diǎn)M移至原點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)Q（0，3）作不平行于x軸的直線交拋物線于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．試探究：在y軸的負(fù)半軸上是否存在點(diǎn)P，使得∠EPQ=∠QPF？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）將已知的兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入二次函數(shù)的解析式利用待定系數(shù)法求得a、b的值即可；
（2）首先將求得的拋物線的解析式利用配方法求得其頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后求得D點(diǎn)的坐標(biāo)，3然后利用平移的性質(zhì)即可求得平行四邊形MDNQ的面積；
（3）由（2）知拋物線的頂點(diǎn)M（-2，1），直線OD的解析式為y=

1

2

x，于是設(shè)平移的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，

1

2

h），從而確定平移的拋物線解析式為y=（x-h）²+

1

2

h．然后分當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)C和當(dāng)拋物線與直線CD沒有公共點(diǎn)兩種情況求得h的值或取值范圍即可；
（4）將拋物線平移，當(dāng)頂點(diǎn)至原點(diǎn)時(shí)，其解析式為y=x²，設(shè)EF的解析式為y=k x+3（k≠0）．假設(shè)存在滿足題設(shè)條件的點(diǎn)P（0，t）過P作GH∥x軸，分別過E，F(xiàn)作GH的垂線通過證明△GEP∽△HFP得到比例式求得t值即可存在，否則就不存在．

解答：解：（1）拋物線y=ax²+bx+3經(jīng)過A（-3，0），B（-1，0）兩點(diǎn)：
∴

9a-3b+3=0 a-b+3=0

解得：a=1，b=4，
（2）由 （1）求得拋物線的解析式為y=x²+4x+3，
配方得y=（x+2）²-1
∴拋物線的頂點(diǎn)M（-2，-1），
∴直線OD的解析式為y=

1

2

x，
由方程組 

y=-2x+9 y= 1 2 x

，解得：

x= 18 5 y= 9 5

，
∴D（

18

5

，

9

5

）
如圖1，由平移的性質(zhì)知，拋物線上的兩點(diǎn)M、Q間所夾的曲線

MQ

掃過的區(qū)域的面積即為平行四邊形MDNQ的面積，連接QD，
∴S_{平行四邊形MDNQ}=2S_△MDQ=2（S_△OQM+S_△OQD）=2×(

1

2

×3×2+

1

2

×3×

18

5

)=

84

5

；
（3）由（2）知拋物線的頂點(diǎn)M（-2，-1），直線OD的解析式為y=

1

2

x，于是設(shè)平移的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，

1

2

h），
∴平移的拋物線解析式為y=（x-h）²+

1

2

h．
①當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，
∵C（0，9），
∴h²+

1

2

h=9，解得 h=

-1± 145

4

．
∴當(dāng) h＜

-1- 145

4

時(shí)，平移的拋物線與射線CD沒有公共點(diǎn)．
②當(dāng)拋物線與直線CD沒有公共點(diǎn)時(shí)，由方程組

y=(x-h)2+ h 2 y=-2x+9

，
消去y得：x2+(-2h+2)x+h2+

1

2

h-9=0，
∴△=(-2h+2)2-4(h2+

1

2

h-9)＜0，
∴h＞4．
此時(shí)拋物線y=（x-4）²+2與直線CD沒有公共點(diǎn)．從而與射線CD沒有共公點(diǎn)．
綜上由①、②可知：平移后的拋物線與射線CD沒有公共點(diǎn)時(shí)，頂點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍是：h＜

-1- 145

4

或h＞4
（4）將拋物線平移，當(dāng)頂點(diǎn)至原點(diǎn)時(shí)，其解析式為y=x²，
設(shè)EF的解析式為y=k x+3（k≠0）．假設(shè)存在滿足題設(shè)條件的點(diǎn)P（0，t）過P作GH∥x軸，分別過E，F(xiàn)作GH的垂線，
垂足為G，H（如圖2）．
∵∠EPQ=∠QPF，
∴∠GEP=∠EPQ=∠QPF=∠HFP，
∴△GEP∽△HFP，
∴

GP

PH

=

GE

HF

，
∴

-xE

xF

=

yE-t

yF-t

=

kxE+3-t

kxF+3-t

∴2k x _E•x _F=（t-3）（x _E+x _F）  
 由

y=x2 y=kx+3

． 得x²-kx-3=0．
∴x_E+x_F=k，x_E•x_F=-3．
∴2k（-3）=（t-3）k
∵k≠0，
∴t=-3．
∴y軸的負(fù)半軸上存在點(diǎn)P（0，-3），使∠EPQ=∠QPF．

點(diǎn)評：本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點(diǎn)的求法等知識點(diǎn)．主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．