【題目】四邊形ABCD是正方形,AC與BD,相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E、F是直線AD上兩動(dòng)點(diǎn),且AE=DF,CF所在直線與對(duì)角線BD所在直線交于點(diǎn)G,連接AG,直線AG交BE于點(diǎn)H.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E、F在線段AD上時(shí),①求證:∠DAG=∠DCG;②猜想AG與BE的位置關(guān)系,并加以證明;

(2)如圖2,在(1)條件下,連接HO,試說(shuō)明HO平分∠BHG;

(3)當(dāng)點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)到如圖3所示的位置時(shí),其它條件不變,請(qǐng)將圖形補(bǔ)充完整,并直接寫出∠BHO的度數(shù).

【答案】(1)證明見解析;AG⊥BE(2)HO平分∠BHG(3)45°

【解析】

試題分析:(1)①根據(jù)正方形的性質(zhì)得DA=DC,∠ADB=∠CDB=45°,則可根據(jù)“SAS”證明△ADG≌△CDG,所以∠DAG=∠DCG;②根據(jù)正方形的性質(zhì)得AB=DC,∠BAD=∠CDA=90°,根據(jù)“SAS”證明△ABE≌△DCF,則∠ABE=∠DCF,由于∠DAG=∠DCG,所以∠DAG=∠ABE,然后利用∠DAG+∠BAG=90°得到∠ABE+∠BAG=90°,于是可判斷AG⊥BE;

(2)如答圖1所示,過(guò)點(diǎn)O作OM⊥BE于點(diǎn)M,ON⊥AG于點(diǎn)N,證明△AON≌△BOM,可得四邊形OMHN為正方形,因此HO平分∠BHG結(jié)論成立;

(3)如答圖2所示,與(1)同理,可以證明AG⊥BE;過(guò)點(diǎn)O作OM⊥BE于點(diǎn)M,ON⊥AG于點(diǎn)N,構(gòu)造全等三角形△AON≌△BOM,從而證明OMHN為正方形,所以HO平分∠BHG,即∠BHO=45°.

試題解析:(1)①∵四邊形ABCD為正方形,

∴DA=DC,∠ADB=∠CDB=45°,

在△ADG和△CDG中

,

∴△ADG≌△CDG(SAS),

∴∠DAG=∠DCG;

②AG⊥BE.理由如下:

∵四邊形ABCD為正方形,

∴AB=DC,∠BAD=∠CDA=90°,

在△ABE和△DCF中

,

∴△ABE≌△DCF(SAS),

∴∠ABE=∠DCF,

∵∠DAG=∠DCG,

∴∠DAG=∠ABE,

∵∠DAG+∠BAG=90°,

∴∠ABE+∠BAG=90°,

∴∠AHB=90°,

∴AG⊥BE;

(2)由(1)可知AG⊥BE.

如答圖1所示,過(guò)點(diǎn)O作OM⊥BE于點(diǎn)M,ON⊥AG于點(diǎn)N,則四邊形OMHN為矩形.

∴∠MON=90°,

又∵OA⊥OB,

∴∠AON=∠BOM.

∵∠AON+∠OAN=90°,∠BOM+∠OBM=90°,

∴∠OAN=∠OBM.

在△AON與△BOM中,

∴△AON≌△BOM(AAS).

∴OM=ON,

∴矩形OMHN為正方形,

∴HO平分∠BHG.

(3)將圖形補(bǔ)充完整,如答圖2示,∠BHO=45°.

與(1)同理,可以證明AG⊥BE.

過(guò)點(diǎn)O作OM⊥BE于點(diǎn)M,ON⊥AG于點(diǎn)N,

與(2)同理,可以證明△AON≌△BOM,

可得OMHN為正方形,所以HO平分∠BHG,

∴∠BHO=45°.

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