【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是(4,0),且OA=OC=4OB,動(dòng)點(diǎn)P在過(guò)A,B,C三點(diǎn)的拋物線上.
(1)求拋物線的表達(dá)式;
(2)在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形?若存在,求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.
【答案】(1)拋物線的表達(dá)式是y=-x2+3x+4;(2)存在,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-2,-6)或(2,6).
【解析】
試題分析:(1)先由已知條件求出B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo),再設(shè)拋物線的表達(dá)式是y=ax2+bx+c,將A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入,利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的表達(dá)式;
(2)由(1)中所求解析式可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,-m2+3m+4).當(dāng)△ACP是以AC為直角邊的直角三角形時(shí),可分兩種情況進(jìn)行討論:①以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn);②以點(diǎn)C為直角頂點(diǎn);利用勾股定理分別列出關(guān)于m的方程,解方程即可.
試題解析:(1)∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是(4,0),
∴OA=4,
∵OA=OC=4OB,
∴OC=OA=4,OB=OA=1,
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0,4),點(diǎn)B的坐標(biāo)是(-1,0).
設(shè)拋物線的表達(dá)式是y=ax2+bx+c,由題意得
,解得,
∴拋物線的表達(dá)式是y=-x2+3x+4;
(2)存在.
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,-m2+3m+4).
∵A(4,0),C(0,4),
∴AC2=42+42=32,AP2=(m-4)2+(-m2+3m+4)2,CP2=m2+(-m2+3m)2.
當(dāng)△ACP是以AC為直角邊的直角三角形時(shí),可分兩種情況:
①如圖1,如果點(diǎn)A為直角頂點(diǎn),那么AC2+AP2=CP2,
即32+(m-4)2+(-m2+3m+4)2=m2+(-m2+3m)2,
整理得m2-2m-8=0,
解得m1=-2,m2=4(不合題意舍去),
則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-2,-6);
②如圖2,如果點(diǎn)C為直角頂點(diǎn),那么AC2+CP2=AP2,
即32+m2+(-m2+3m)2=+(m-4)2+(-m2+3m+4)2,
整理得m2-2m=0,
解得m1=2,m2=0(不合題意舍去),
則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,6);
綜上所述,所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-2,-6)或(2,6).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正方形紙片ABCD中,對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O,折疊正方形紙片ABCD,使AD落在BD上,點(diǎn)A恰好與BD上的點(diǎn)F重合,展開(kāi)后折痕DE分別交AB、AC于點(diǎn)E、G,連結(jié)GF,給出下列結(jié)論:①∠ADG=22.5°;②tan∠AED=2;③S△AGD=S△OGD;④四邊形AEFG是菱形;⑤BE=2OG;⑥若S△OGF=1,則正方形ABCD的面積是,其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為( )
A.2 B.3 C.4 D.5
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在1, 0,-1,-2這四個(gè)數(shù)中,最小的數(shù)是( )
A. -2 B. -1 C.0 D. 1
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知等腰△ABC,AC=BC=10.AB=12,以BC為直徑作⊙O交AB于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)G,DF⊥AC,垂足為F,交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.
(1)求證:直線EF是⊙O的切線;
(2)求DF的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=6 cm,BC=8 cm,沿對(duì)角線AC將矩形分成兩個(gè)直角三角形,其中△ABC不動(dòng),△A′C′D沿射線CA的方向以每秒2 cm的速度移動(dòng).
(1)在平移過(guò)程中,四邊形ABC′D始終是 (請(qǐng)?jiān)谙旅娴乃膫(gè)選項(xiàng)中選擇一個(gè)你認(rèn)為正確的序號(hào)填在橫線上);
①平行四邊形 ②矩形 ③菱形 ④正方形
(2)在移動(dòng)過(guò)程中,當(dāng)移動(dòng)時(shí)間t(秒)為何值時(shí),四邊形ABC'D是菱形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】四邊形ABCD是正方形,AC與BD,相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E、F是直線AD上兩動(dòng)點(diǎn),且AE=DF,CF所在直線與對(duì)角線BD所在直線交于點(diǎn)G,連接AG,直線AG交BE于點(diǎn)H.
(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E、F在線段AD上時(shí),①求證:∠DAG=∠DCG;②猜想AG與BE的位置關(guān)系,并加以證明;
(2)如圖2,在(1)條件下,連接HO,試說(shuō)明HO平分∠BHG;
(3)當(dāng)點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)到如圖3所示的位置時(shí),其它條件不變,請(qǐng)將圖形補(bǔ)充完整,并直接寫出∠BHO的度數(shù).
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