Question

如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5，∠C=30°。點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以每秒2個(gè)單位長的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以每秒1個(gè)單位長的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)。設(shè)點(diǎn)D、E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（t＞0），過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，連接DE、EF。

（1）求證：AE=DF；
（2）四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值；如果不能，說明理由；
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△DEF為直角三角形？請(qǐng)說明理由。

 

Answer 1

解：（1）在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，

∴DF=t，又∵AE=t，∴AE=DF；…………2分

（2）能；理由如下：

∵AB⊥BC，DF⊥BC，

∴AE∥DF，又AE=DF，

∴四邊形AEFD為平行四邊形，………………3分

設(shè)AB= x,則AC=2x,∴x²+(5)²=(2x)^{2 ,}∴x=5∴AC=10，AB=5，

∴AD=AC-DC=10-2t，

若使為菱形，則需AE=AD，即t=10-2t，t=，…………4分

即當(dāng)t=時(shí)，四邊形AEFD為菱形；…………5分

（3）①當(dāng)∠EDF=90°時(shí)，四邊形EBFD為矩形，∴DE∥BF

∴∠ADE=∠C=30°，∠DEA=90°

∴AD=2AE，即10-2t=2t，t=；  …………6分

②當(dāng)∠DEF=90°時(shí)，由（2）知EF∥AD，

∴∠ADE=∠DEF=90°，

∵∠A=90°-∠C=60°，∠AED=30°，

∴AD=AE，即10-2t=t，t=4； …………8分

綜上所述，當(dāng)t=或4時(shí)，△DEF為直角三角形�！�………9分