Question

如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作BC的平行線交BE的延長線于點(diǎn)F，連接CF．
（1）求證：AF=DC；
（2）若AB⊥AC，試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結(jié)論．
（3）在原有條件的基礎(chǔ)上再添加一個條件，使得四邊形ADCF是矩形．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),菱形的判定,矩形的判定

專題：

分析：（1）根據(jù)條件證明△AEF≌△DEB可得到AF=BD，再中線的性質(zhì)可得到AF=DC；
（2）結(jié)合（1）可判定四邊形ADCF為平行四邊形，再結(jié)合直角三角形的性質(zhì)可得AD=CD，可判定出四邊形ADCF為菱形；
（3）可添加AC=BC，利用等腰三角形的性質(zhì)可證明AD⊥CD，可得到四邊形ADCF為矩形．

解答：（1）證明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，
∵E為AD的中點(diǎn)，
∴AE=DE，
在△AFE和△DBE中

∠AFE=∠DBE ∠AEF=∠DEB AE=DE

，
∴△AFE≌△DBE（AAS），
∴AF=BD，
又AD為中線，
∴BD=CD，
∴AF=CD；

（2）解：是菱形，證明如下：
由（1）可知AF=CD，且AF∥CD，
∴四邊形ADCF為平行四邊形，
∵AB⊥AC，且AD為BC邊上的中線，
∴AD=CD，
∴四邊形ADCF為菱形；

（3）解：可添加AC=BC，
由（2）可知四邊形ADCF為平行四邊形，
當(dāng)AC=BC時，∵AD為BC邊上的中線，
∴AD⊥BC，即∠ADC=90°，
∴四邊形ADCF為矩形．

點(diǎn)評：本題主要考查特殊四邊形的判定，掌握平行四邊形、矩形、菱形的判定方法是解題的關(guān)鍵，注意區(qū)別這幾種四邊形的判定方法．