Question

【題目】課題學習：我們知道二次函數(shù)的圖象是拋物線，它也可以這樣定義：如果一個動點M（x，y）到定點A（0，m）（m＞0）的距離與它到定直線y=﹣m的距離相等，那么動點M形成的圖形就是拋物線y=ax2（a＞0）的圖象，如圖所示．

（1）探究：當x≠0時，a與m有何數(shù)量關(guān)系？
（2）應用：已知動點M（x，y）到定點A（0，4）的距離與到定直線y=﹣4的距離相等，請寫出動點M形成的拋物線的解析式．
（3）拓展：根據(jù)拋物線的平移變換，拋物線y= （x﹣1）2+2的圖象可以看作到定點A（ ， ）的距離與它到定直線y=的距離相等的動點M（x，y）所形成的圖形．
（4）若點D的坐標是（1，8），在（2）中求得的拋物線上是否存在點P，使得PA+PD最短？若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由定義可知，MA=MB，

∴x2+（y﹣m）2=（y+m）2，

∵y=ax2，

∴x2= ，

∴ =4my，

∴a=

（2）

解：由（1）可知，a= ，

∴拋物線的解析式為y= x2．

（3）1；3；1
（4）

解：如圖所示，過點D作直線y=﹣4的垂線垂足為M，與拋物線的交點就是的點P，此時PA+PD=PD+PM最短（垂線段最短），

此時點P坐標（1， ）．

【解析】解：（3）∵拋物線頂點坐標（1，2），a=1，
∴拋物線y= （x﹣1）2+2的圖象可以看作到定點A（1，3）的距離與它到定直線y=1的距離相等的動點M（x，y）所形成的圖形．
所以答案是1，3，1．
【考點精析】關(guān)于本題考查的二次函數(shù)的圖象，需要了解二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點才能得出正確答案．