【題目】已知Rt△ABC中,∠B=90°,AC=20,AB=10,P是邊AC上一點(不包括端點A、C),過點P作PE⊥BC于點E,過點E作EF∥AC,交AB于點F.設PC=x,
PE=y.

(1)求y與x的函數(shù)關系式;
(2)是否存在點P使△PEF是Rt△?若存在,求此時的x的值;若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)解:在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=20,AB=10,

∴sinC= ,

∵PE⊥BC于點E,

∴sinC= =

∵PC=x,PE=y,

∴y= x(0<x<20)


(2)解:存在點P使△PEF是Rt△,

①如圖1,當∠FPE=90°時,四邊形PEBF是矩形,BF=PE= x,

四邊形APEF是平行四邊形,PE=AF= x,

∵BF+AF=AB=10,

∴x=10;

②如圖2,當∠PFE=90°時,Rt△APF∽Rt△ABC,

∠ARP=∠C=30°,AF=40﹣2x,

平行四邊形AFEP中,AF=PE,即:40﹣2x= x,

解得x=16;

③當∠PEF=90°時,此時不存在符合條件的Rt△PEF.

綜上所述,當x=10或x=16,存在點P使△PEF是Rt△.


【解析】考查了相似三角形的判定與性質,平行四邊形的性質,矩形的性質,解直角三角形,注意分類思想的運用,綜合性較強,難度中等.(1)在Rt△ABC中,根據(jù)三角函數(shù)可求y與x的函數(shù)關系式;(2)分三種情況:①如圖1,當∠FPE=90°時,②如圖2,當∠PFE=90°時,③當∠PEF=90°時,進行討論可求x的值.
【考點精析】通過靈活運用平行四邊形的性質和矩形的性質,掌握平行四邊形的對邊相等且平行;平行四邊形的對角相等,鄰角互補;平行四邊形的對角線互相平分;矩形的四個角都是直角,矩形的對角線相等即可以解答此題.

練習冊系列答案
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,則|a﹣b+c|+|2a+b|=(
A.a+b
B.a﹣2b
C.a﹣b
D.3a

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【題目】在平面直角坐標系中,點O為原點,點A的坐標為(﹣6,0).如圖1,正方形OBCD的頂點B在x軸的負半軸上,點C在第二象限.現(xiàn)將正方形OBCD繞點O順時針旋轉角α得到正方形OEFG.

(1)如圖2,若α=60°,OE=OA,求直線EF的函數(shù)表達式.
(2)若α為銳角,tanα= ,當AE取得最小值時,求正方形OEFG的面積.
(3)當正方形OEFG的頂點F落在y軸上時,直線AE與直線FG相交于點P,△OEP的其中兩邊之比能否為 :1?若能,求點P的坐標;若不能,試說明理由

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,在平面直角坐標系中,點O為坐標原點,直線l與拋物線y=mx2+nx相交于A(1,3 ),B(4,0)兩點.
(1)求出拋物線的解析式;
(2)在坐標軸上是否存在點D,使得△ABD是以線段AB為斜邊的直角三角形?若存在,求出點D的坐標;若不存在,說明理由;
(3)點P是線段AB上一動點,(點P不與點A、B重合),過點P作PM∥OA,交第一象限內的拋物線于點M,過點M作MC⊥x軸于點C,交AB于點N,若△BCN、△PMN的面積SBCN、SPMN滿足SBCN=2SPMN , 求出 的值,并求出此時點M的坐標.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,在平面直角坐標系中,已知拋物線y=x2+bx+c過A,B,C三點,點A的坐標是(3,0),點C的坐標是(0,﹣3),動點P在拋物線上.

(1)b= , c= , 點B的坐標為;(直接填寫結果)
(2)是否存在點P,使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形?若存在,求出所有符合條件的點P的坐標;若不存在,說明理由;
(3)過動點P作PE垂直y軸于點E,交直線AC于點D,過點D作x軸的垂線.垂足為F,連接EF,當線段EF的長度最短時,求出點P的坐標.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,點P、Q分別是邊長為4cm的等邊△ABCAB、BC上的動點,點P從頂點A,點Q從頂點B同時出發(fā),且速度都為1cm/s,連接AQ、CP交于點M,下面四個結論:BP=CM;②△ABQ≌△CAP;③∠CMQ的度數(shù)不變,始終等于60°;④當?shù)?/span>秒或第秒時,△PBQ為直角三角形,正確的有幾個 ( )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

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【題目】如圖,拋物線L:y=ax2+bx+c與x軸交于A、B(3,0)兩點(A在B的左側),與y軸交于點C(0,3),已知對稱軸x=1.

(1)求拋物線L的解析式;
(2)將拋物線L向下平移h個單位長度,使平移后所得拋物線的頂點落在△OBC內(包括△OBC的邊界),求h的取值范圍;
(3)設點P是拋物線L上任一點,點Q在直線l:x=﹣3上,△PBQ能否成為以點P為直角頂點的等腰直角三角形?若能,求出符合條件的點P的坐標;若不能,請說明理由.

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【題目】為更新果樹品種,某果園計劃新購進A、B兩個品種的果樹苗栽植培育,若計劃購進這兩種果樹苗共45棵,其中A種苗的單價為7元/棵,購買B種苗所需費用y(元)與購買數(shù)量x(棵)之間存在如圖所示的函數(shù)關系.

(1)求y與x的函數(shù)關系式;
(2)若在購買計劃中,B種苗的數(shù)量不超過35棵,但不少于A種苗的數(shù)量,請設計購買方案,使總費用最低,并求出最低費用.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】(1)如圖1,已知ABC,以AB、AC為邊分別向外作正方形ABFD和正方形ACGE,連結BE、CD,猜想BE與CD有什么數(shù)量關系?并說明理由;

(2)請模仿正方形情景下構造全等三角形的思路,利用構造全等三角形完成下題:如圖2,要測量池塘兩岸相對的兩點B、E的距離,已經(jīng)測得ABC=45°,CAE=90°,AB=BC=100米,AC=AE,求BE的長(結果保留根號).

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