Question

已知a²=5，證明：a是無理數(shù)．

Answer 1

考點：反證法

專題：證明題

分析：首先假設(shè)a是有理數(shù)，并設(shè)a=

p

q

（p，q是正整數(shù)，且互為質(zhì)數(shù)，即p，q的最大公約數(shù)是1），進而得出這樣p，q有公因數(shù)5，從而得出矛盾，故原命題正確．

解答：證明：假設(shè)a是有理數(shù)，并設(shè)a=

p

q

（p，q是正整數(shù)，且互為質(zhì)數(shù)，即p，q的最大公約數(shù)是1），
∵a的平方等于5，
∴（

p

q

）²=5，即p²=5q²，
∴p²含有因數(shù)5，設(shè)p=5n，
∴25n=5q²，即q²=5n²，
∴q²含有因數(shù)5，即q有因數(shù)5，
這樣p，q有公因數(shù)5，
這與假設(shè)p，q的最大公約數(shù)是1相矛盾，a=

p

q

（p，q是正整數(shù)，且互為質(zhì)數(shù)，即p，q的最大公約數(shù)是1）不成立，
故a不是有理數(shù)而是無理數(shù)．

點評：此題主要考查了反證法，正確掌握反證法的步驟是解題關(guān)鍵．