【題目】定義:如圖1,在△ABC和△ADE中,AB=AC=AD=AE,當(dāng)∠BAC+∠DAE=180°時(shí),我們稱△ABC與△DAE互為“頂補(bǔ)等腰三角形”,△ABC的邊BC上的高線AM叫做△ADE的“頂心距”,點(diǎn)A叫做“旋補(bǔ)中心”.

特例感知:

(1)在圖2,圖3中,△ABC與△DAE互為“頂補(bǔ)三角形”,AM,AN是“頂心距”.

①如圖2,當(dāng)∠BAC=90°時(shí),AM與DE之間的數(shù)量關(guān)系為AM=  DE;

②如圖3,當(dāng)∠BAC=120°,BC=6時(shí),AN的長為  

猜想論證:

(2)在圖1中,當(dāng)∠BAC為任意角時(shí),猜想AM與DE之間的數(shù)量關(guān)系,并給予證明.

拓展應(yīng)用

(3)如圖4,在四邊形ABCD,AD=AB,CD=BC,∠B=90°,∠A=60°,CD=2,在四邊形ABCD的內(nèi)部是否存在點(diǎn)P,使得△PAD與△PBC互為“頂補(bǔ)等腰三角形”?若存在,請給予證明,并求△PBC的“頂心距”的長;若不存在,請說明理由.

【答案】(1)①; ②3;(2)見解析;(3)見解析.

【解析】

(1)①只要證明△BAC≌△EAD,推出BC=DE,由AM⊥BC,推出BM=CM,推出AM=BC=DE;

②只要證明△AMC≌△DNA,即可解決問題;

(2)結(jié)論:DE=2AM,只要證明△AMC≌△DNA即可;

(3)如圖4中,結(jié)論:存在.連接AC,取AC的中點(diǎn)P,連接PD、PB、作PM⊥BCM.點(diǎn)P即為所求的點(diǎn);

(1)①如圖2中,

∵AB=AC=AE=AD,∠BAC=∠EAD=90°,

∴△BAC≌△EAD,

∴BC=DE,

∵AM⊥BC,

∴BM=CM,

∴AM=BC=DE.

故答案為

②如圖3中,

∵∠BAC=120°,AB=AC,AM⊥BC,

∴∠CAM=60°,BM=CM=3

∵∠BAC+∠EAD=180°,

∴∠EAD=60°,

∵AE=AD,

∴△EAD是等邊三角形,

∴∠D=60°,

∴∠AMC=∠AND=90°,∠CAM=∠D,AC=AD,

∴△AMC≌△DNA,

∴AN=CM=3,

故答案為3.

(2)如圖1中,結(jié)論:DE=2AM.

∵AD=AE,AN⊥DE,

∴EN=DN,∠DAN=∠NAE,同法可證:∠CAM=∠BAM,

∵∠BAC+∠EAD=180°,

∴∠DAN+∠CAM=90°,

∵∠CAM+∠C=90°,

∴∠DAN=∠C,

∵∠AND=∠AMC=90°,AC=DA,

∴△AMC≌△DNA,

∴AM=DN,

∴DE=2AM.

(3)如圖4中,結(jié)論:存在.

理由:連接AC,取AC的中點(diǎn)P,連接PD、PB、作PM⊥BC于M.

∵AD=AB,CD=CB,AC=AC,

∴△ABC≌△ADC,

∴∠ADC=∠ABC=90°,∠DAC=∠BAC=30°,

∴∠ACD=∠ACB=60°,

∵PA=PC,

∴PA=PD=PC=PB,

∴△PCD,△PCB都是等邊三角形,

∴∠CPD=∠CPB=60°,

∴∠APD=120°,

∴∠APD+∠CPB=180°,

∴△APD和△PBC是“頂補(bǔ)等腰三角形”,

在等邊三角形△PBC中,∵BC=PC=PB=2,PM⊥BC,

∴PM=×2=

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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【題目】如圖所示,扇形OMN的圓心角為45°,正方形A1B1C1A2的邊長為2,頂點(diǎn)A1,A2在線段OM上,頂點(diǎn)B1在弧MN上,頂點(diǎn)C1在線段ON上,在邊A2C1上取點(diǎn)B2,以A2B2為邊長繼續(xù)作正方形A2B2C2A3,使得點(diǎn)C2在線段ON上,點(diǎn)A3在線段OM上,……,依次規(guī)律,繼續(xù)作正方形,則A2018M=__________

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【題目】某品牌化妝品商店有、三種型號(hào)的化妝品,今年國慶節(jié)期間采用組合打折銷售,銷售時(shí)采用了三種組合的方式進(jìn)行銷售,甲種組合是:種, 種, 種;乙種組合是: 種,種;丙種組合是: 種,種,.如果組合銷售打折后A種每盒售價(jià)為元, 種每盒售價(jià)為元, 種每盒售價(jià)為.國慶節(jié)當(dāng)天,商店采用三種組合搭配的方式進(jìn)行銷售后共得銷售額為元,其中 種的銷售額為元,那么種化妝品的銷售額是______

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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,A(﹣1,5),B(﹣1,0),C(﹣4,3).

1)在圖中的點(diǎn)上標(biāo)出相應(yīng)字母A、B、C,并求出ABC的面積;

2)在圖中作出ABC關(guān)于y軸的對稱圖形A1B1C1;

3)寫出點(diǎn)A1,B1,C1的坐標(biāo).

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【題目】某校為了了解初中各年級學(xué)生每天的平均睡眠時(shí)間(單位:h,精確到1 h),抽樣調(diào)查了部分學(xué)生,并用得到的數(shù)據(jù)繪制了下面兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.

請你根據(jù)圖中提供的信息,回答下列問題:

(1)求出扇形統(tǒng)計(jì)圖中百分?jǐn)?shù)的值為_______,所抽查的學(xué)生人數(shù)為______;

(2)求出平均睡眠時(shí)間為8小時(shí)的人數(shù),并補(bǔ)全條形圖;

(3)求出這部分學(xué)生的平均睡眠時(shí)間的平均數(shù);

(4)如果該校共有學(xué)生1200名,請你估計(jì)睡眠不足(少于8小時(shí))的學(xué)生數(shù).

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,將一塊含有45°角的直角三角板如圖放置,直角頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,0),頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,2),頂點(diǎn)B恰好落在第一象限的雙曲線上,現(xiàn)將直角三角板沿x軸正方向平移,當(dāng)頂點(diǎn)A恰好落在該雙曲線上時(shí)停止運(yùn)動(dòng),則此時(shí)點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)C′的坐標(biāo)為(  )

A. ,0) B. (2,0) C. ,0) D. (3,0)

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(1)請建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系xOy,使得A點(diǎn)的坐標(biāo)為(-3,-1),在此坐標(biāo)系下,B點(diǎn)的坐標(biāo)為________________;

(2)將線段BA繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得線段BC,畫出BC;在第(1)題的坐標(biāo)系下,C點(diǎn)的坐標(biāo)為__________________;

(3)在第(1)題的坐標(biāo)系下,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象過O、BC三點(diǎn),則此函數(shù)圖象的對稱軸方程是________________.

【答案】 (-1,2) (2,0) x=1

【解析】分析:根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)建立坐標(biāo)系,即可寫出點(diǎn)的坐標(biāo).

畫出點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)連接,寫出點(diǎn)的坐標(biāo).

用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式,即可求出對稱軸方程.

詳解:(1)建立坐標(biāo)系如圖,

B點(diǎn)的坐標(biāo)為

(2)線段BC如圖,C點(diǎn)的坐標(biāo)為

(3)把點(diǎn)代入二次函數(shù),得

解得:

二次函數(shù)解析為:

對稱軸方程為:

故對稱軸方程是

點(diǎn)睛:考查圖形與坐標(biāo);旋轉(zhuǎn)、對稱變換;待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,二次函數(shù)的圖象與性質(zhì).熟練掌握各個(gè)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

型】解答
結(jié)束】
18

【題目】特殊兩位數(shù)乘法的速算——如果兩個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字相同,個(gè)位數(shù)字相加為10,那么能立說出這兩個(gè)兩位數(shù)的乘積.如果這兩個(gè)兩位數(shù)分別寫作ABAC(即十位數(shù)字為A,個(gè)位數(shù)字分別為B、C,B+C=10,A>3),那么它們的乘積是一個(gè)4位數(shù),前兩位數(shù)字是A(A+1)的乘積,后兩位數(shù)字就是BC的乘積.

如:47×43=2021,61×69=4209.

(1)請你直接寫出83×87的值;

(2)設(shè)這兩個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字為x(x>3),個(gè)位數(shù)字分別為yz(y+z=10),通過計(jì)算驗(yàn)證這兩個(gè)兩位數(shù)的乘積為100x(x+1)+yz.

(3)99991×99999=___________________(直接填結(jié)果)

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