Question

已知如圖平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，矩形ABCO是頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（3，0）、B（3，4）、C（0，4）．點(diǎn)D在y軸上，且點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，-5），點(diǎn)P是直線AC上的一動(dòng)點(diǎn)．
（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到線段AC的中點(diǎn)時(shí)，求直線DP的解析式（關(guān)系式）；
（2）當(dāng)點(diǎn)P沿直線AC移動(dòng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)D、P的直線與x軸交于點(diǎn)M．問(wèn)在x軸的正半軸上是否存在使△DOM與△ABC相似的點(diǎn)M？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）當(dāng)點(diǎn)P沿直線AC移動(dòng)時(shí)，以點(diǎn)P為圓心、R（R＞0）為半徑長(zhǎng)畫(huà)圓．得到的圓稱(chēng)為動(dòng)圓P．若設(shè)動(dòng)圓P的半徑長(zhǎng)為

AC

2

，過(guò)點(diǎn)D作動(dòng)圓P的兩條切線與動(dòng)圓P分別相切于點(diǎn)E、F．請(qǐng)?zhí)角笤趧?dòng)圓P中是否存在面積最小的四邊形DEPF？若存在，請(qǐng)求出最小面積S的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題,待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式,垂線段最短,勾股定理,切線長(zhǎng)定理,相似三角形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：綜合題,壓軸題,存在型,分類(lèi)討論

分析：（1）只需先求出AC中點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法即可求出直線DP的解析式．
（2）由于△DOM與△ABC相似，對(duì)應(yīng)關(guān)系不確定，可分兩種情況進(jìn)行討論，利用三角形相似求出OM的長(zhǎng)，即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．
（3）易證S_△PED=S_△PFD．從而有S_{四邊形DEPF}=2S_△PED=

5

2

DE．由∠DEP=90°得DE²=DP²-PE²=DP²-

25

4

．根據(jù)“點(diǎn)到直線之間，垂線段最短”可得：當(dāng)DP⊥AC時(shí)，DP最短，此時(shí)DE也最短，對(duì)應(yīng)的四邊形DEPF的面積最�。�借助于三角形相似，即可求出DP⊥AC時(shí)DP的值，就可求出四邊形DEPF面積的最小值．

解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)P作PH∥OA，交OC于點(diǎn)H，如圖1所示．
∵PH∥OA，
∴△CHP∽△COA．
∴

HP

OA

=

CH

CO

=

CP

CA

．
∵點(diǎn)P是AC中點(diǎn)，
∴CP=

1

2

CA．
∴HP=

1

2

OA，CH=

1

2

CO．
∵A（3，0）、C（0，4），
∴OA=3，OC=4．
∴HP=

3

2

，CH=2．
∴OH=2．
∵PH∥OA，∠COA=90°，
∴∠CHP=∠COA=90°．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

3

2

，2）．
設(shè)直線DP的解析式為y=kx+b，
∵D（0，-5），P（

3

2

，2）在直線DP上，
∴

b=-5 3 2 k+b=2

∴

k= 14 3 b=-5

∴直線DP的解析式為y=

14

3

x-5．

（2）①若△DOM∽△ABC，圖2（1）所示，
∵△DOM∽△ABC，
∴

DO

AB

=

OM

BC

．
∵點(diǎn)B坐標(biāo)為（3，4），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，-5），
∴BC=3，AB=4，OD=5．
∴

5

4

=

OM

3

．
∴OM=

15

4

．
∵點(diǎn)M在x軸的正半軸上，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（

15

4

，0）
②若△DOM∽△CBA，如圖2（2）所示，
∵△DOM∽△CBA，
∴

DO

CB

=

OM

BA

．
∵BC=3，AB=4，OD=5，
∴

5

3

=

OM

4

．
∴OM=

20

3

．
∵點(diǎn)M在x軸的正半軸上，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（

20

3

，0）．
綜上所述：若△DOM與△CBA相似，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（

15

4

，0）或（

20

3

，0）．

（3）∵OA=3，OC=4，∠AOC=90°，
∴AC=5．
∴PE=PF=

1

2

AC=

5

2

．
∵DE、DF都與⊙P相切，
∴DE=DF，∠DEP=∠DFP=90°．
∴S_△PED=S_△PFD．
∴S_{四邊形DEPF}=2S_△PED
=2×

1

2

PE•DE
=PE•DE
=

5

2

DE．
∵∠DEP=90°，
∴DE²=DP²-PE²．
=DP²-

25

4

．
根據(jù)“點(diǎn)到直線之間，垂線段最短”可得：
當(dāng)DP⊥AC時(shí)，DP最短，
此時(shí)DE取到最小值，四邊形DEPF的面積最小．
∵DP⊥AC，
∴∠DPC=90°．
∴∠AOC=∠DPC．
∵∠OCA=∠PCD，∠AOC=∠DPC，
∴△AOC∽△DPC．
∴

AO

DP

=

AC

DC

．
∵AO=3，AC=5，DC=4-（-5）=9，
∴

3

DP

=

5

9

．
∴DP=

27

5

．
∴DE²=DP²-

25

4

=（

27

5

）²-

25

4

=

2291

100

．
∴DE=

2291

10

，
∴S_{四邊形DEPF}=

5

2

DE
=

2291

4

．
∴四邊形DEPF面積的最小值為

2291

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、用待定系數(shù)法求直線的解析式、切線長(zhǎng)定理、勾股定理、垂線段最短等知識(shí)，考查了分類(lèi)討論的思想．將求DE的最小值轉(zhuǎn)化為求DP的最小值是解決第3小題的關(guān)鍵．另外，要注意“△DOM與△ABC相似”與“△DOM∽△ABC“之間的區(qū)別．