Question

如圖1，已知直線y=x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，將直線在x軸下方的部分沿x軸翻折，得到一個(gè)新函數(shù)的圖象（圖中的“V形折線”）．

（1）類比研究函數(shù)圖象的方法，請(qǐng)列舉新函數(shù)的兩條性質(zhì)，并求新函數(shù)的解析式；

（2）如圖2，雙曲線y=與新函數(shù)的圖象交于點(diǎn)C（1，a），點(diǎn)D是線段AC上一動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)D作x軸的平行線，與新函數(shù)圖象交于另一點(diǎn)E，與雙曲線交于點(diǎn)P．

①試求△PAD的面積的最大值；

②探索：在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，四邊形PAEC能否為平行四邊形？若能，求出此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）如圖1，均是正整數(shù)新函數(shù)的兩條性質(zhì)：①函數(shù)的最小值為0；

②函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線x=﹣3；

由題意得A點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，0）．分兩種情況：

①x≥﹣3時(shí)，顯然y=x+3；

②當(dāng)x＜﹣3時(shí)，設(shè)其解析式為y=kx+b．

在直線y=x+3中，當(dāng)x=﹣4時(shí)，y=﹣1，

則點(diǎn)（﹣4，﹣1）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為（﹣4，1）．

把（﹣4，1），（﹣3，0）代入y=kx+b，

得，解得，

∴y=﹣x﹣3．

綜上所述，新函數(shù)的解析式為y=；

（2）如圖2，①∵點(diǎn)C（1，a）在直線y=x+3上，

∴a=1+3=4．

∵點(diǎn)C（1，4）在雙曲線y=上，

∴k=1×4=4，y=．

∵點(diǎn)D是線段AC上一動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），

∴可設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，m+3），且﹣3＜m＜1．

∵DP∥x軸，且點(diǎn)P在雙曲線上，

∴P（，m+3），

∴PD=﹣m，

∴△PAD的面積為

S=（﹣m）×（m+3）=﹣m²﹣m+2=﹣（m+）²+，

∵a=﹣＜0，

∴當(dāng)m=﹣時(shí)，S有最大值，為，

又∵﹣3＜﹣＜1，

∴△PAD的面積的最大值為；

②在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，四邊形PAEC不能為平行四邊形．理由如下：

當(dāng)點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)時(shí)，其坐標(biāo)為（﹣1，2），此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，2），E點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣5，2），

∵DP=3，DE=4，

∴EP與AC不能互相平分，

∴四邊形PAEC不能為平行四邊形．