Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y₁=2x與直線y₂=-6x+48交于點(diǎn)A，另有一直線平行于x軸，分別交線段OA、BA于M、N兩點(diǎn)，則在x軸上是否存在一點(diǎn)R，使得△RMN為等腰直角三角形？若存在，求出R點(diǎn)的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題,分類討論

分析：設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為a，代入直線y₁=2x求出點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，從而得到點(diǎn)M的坐標(biāo)，即為點(diǎn)N的縱坐標(biāo)，代入直線y₂=-6x+48求出點(diǎn)N的橫坐標(biāo)，然后求出MN的長度，然后分①點(diǎn)M、N是直角頂點(diǎn)時(shí)MR=MN，NR=MN，然后列出方程求出a的值，即可得到點(diǎn)R的坐標(biāo)；②∠MRN=90°時(shí)，點(diǎn)M的縱坐標(biāo)等于

1

2

MN，列出方程求出a的值，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)R的橫坐標(biāo)，然后寫出點(diǎn)R的坐標(biāo)即可．

解答：解：設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為a，
∵點(diǎn)M在直線y₁=2x上，
∴y=2a，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a，2a），
∵M(jìn)N∥x軸，
∴點(diǎn)N的縱坐標(biāo)與點(diǎn)M的縱坐標(biāo)相等，為2a，
∴-6x+48=2a，
解得x=

24-a

3

，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（

24-a

3

，2a），
∴MN=

24-a

3

-a=

24-4a

3

，
①點(diǎn)M（N）是直角頂點(diǎn)時(shí)MR=MN（NR=MN），

24-4a

3

=2a，
解得a=

12

5

，

24-a

3

=

24- 12 5

3

=

36

5

，
∴點(diǎn)R的坐標(biāo)為（

12

5

，0）或（

36

5

，0）；
②∠MRN=90°時(shí)，2a=

1

2

MN=

1

2

×

24-4a

3

，
整理得，24-4a=12a，
解得a=

3

2

，
∵△MNR是等腰直角三角形，
∴點(diǎn)R的橫坐標(biāo)為a+

1

2

MN=a+2a=3a=

3

2

×3=

9

2

，
∴點(diǎn)R的坐標(biāo)為（

9

2

，0），
綜上所述，在x軸上是否存在一點(diǎn)R（

12

5

，0）或（

36

5

，0）或（

9

2

，0），使得△RMN為等腰直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，等腰直角三角形的性質(zhì)，設(shè)出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，然后表示出MN的長度，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)分情況列出方程是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．