Question

如圖，直線y=﹣x+3與x軸交于點C，與y軸交于點B，拋物線y=ax²+x+c經(jīng)過B、C兩點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖，點E是直線BC上方拋物線上的一動點，當△BEC面積最大時，請求出點E的坐標和△BEC面積的最大值？

（3）在（2）的結(jié)論下，過點E作y軸的平行線交直線BC于點M，連接AM，點Q是拋物線對稱軸上的動點，在拋物線上是否存在點P，使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，請直接寫出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

       解：（1）∵直線y=﹣x+3與x軸交于點C，與y軸交于點B，

∴點B的坐標是（0，3），點C的坐標是（4，0），

∵拋物線y=ax²+x+c經(jīng)過B、C兩點，

∴

解得

∴y=﹣x²+x+3．

（2）如圖1，過點E作y軸的平行線EF交直線BC于點M，EF交x軸于點F，，

∵點E是直線BC上方拋物線上的一動點，

∴設(shè)點E的坐標是（x，﹣x²+x+3），

則點M的坐標是（x，﹣x+3），

∴EM=﹣x²+x+3﹣（﹣x+3）=﹣x²+x，

∴S_△ABC=S_△BEM+S_△MEC

=

=×（﹣x²+x）×4

=﹣x²+3x

=﹣（x﹣2）²+3，

∴當x=2時，即點E的坐標是（2，3）時，△BEC的面積最大，最大面積是3．

（3）在拋物線上存在點P，使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形．

①如圖2，，

由（2），可得點M的橫坐標是2，

∵點M在直線y=﹣x+3上，

∴點M的坐標是（2，），

又∵點A的坐標是（﹣2，0），

∴AM==，

∴AM所在的直線的斜率是：；

∵y=﹣x²+x+3的對稱軸是x=1，

∴設(shè)點Q的坐標是（1，m），點P的坐標是（x，﹣x²+x+3），

則

解得或，

∵x＜0，

∴點P的坐標是（﹣3，﹣）．

②如圖3，，

由（2），可得點M的橫坐標是2，

∵點M在直線y=﹣x+3上，

∴點M的坐標是（2，），

又∵點A的坐標是（﹣2，0），

∴AM==，

∴AM所在的直線的斜率是：；

∵y=﹣x²+x+3的對稱軸是x=1，

∴設(shè)點Q的坐標是（1，m），點P的坐標是（x，﹣x²+x+3），

則

解得或，

∵x＞0，

∴點P的坐標是（5，﹣）．

③如圖4，，

由（2），可得點M的橫坐標是2，

∵點M在直線y=﹣x+3上，

∴點M的坐標是（2，），

又∵點A的坐標是（﹣2，0），

∴AM==，

∵y=﹣x²+x+3的對稱軸是x=1，

∴設(shè)點Q的坐標是（1，m），點P的坐標是（x，﹣x²+x+3），

則

解得，

∴點P的坐標是（﹣1，）．

綜上，可得

在拋物線上存在點P，使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形，

點P的坐標是（﹣3，﹣）、（5，﹣）、（﹣1，）．