Question

某廠設(shè)計(jì)了一款成本為20元∕件的公益用品投放市場進(jìn)行試銷．經(jīng)過調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：

銷售單價(jià)x（元∕件）	…	30	40	50	60	…
每天銷售量y（件）	…	500	400	300	200	…

（1）認(rèn)真分析上表中的數(shù)據(jù)，用所學(xué)過的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的知識(shí)確定一個(gè)滿足這些數(shù)據(jù)的y與x的函數(shù)關(guān)系，并求出函數(shù)關(guān)系式．
（2）當(dāng)銷售單價(jià)定為多少時(shí)，該廠試銷該公益品每天獲得的利潤最大？最大利潤是多少？（利潤=銷售總價(jià)-成本總價(jià)）
（3）當(dāng)?shù)孛裾�部門規(guī)定，若該廠銷售此公益品單價(jià)不低于成本價(jià)且不超過46元/件時(shí)，該廠每銷售一件此公益品，國家就補(bǔ)貼該廠a元利潤（a＞4），公司通過銷售記錄發(fā)現(xiàn)，日銷售利潤隨銷售單價(jià)的增大而增大，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用

專題：

分析：（1）直接運(yùn)用待定系數(shù)法根據(jù)統(tǒng)計(jì)表的數(shù)據(jù)就可以求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤是W元，先表示出每件的利潤為（x-20），再根據(jù)總利潤=銷售總價(jià)-成本總價(jià)建立等式即可得出結(jié)論；
（3）設(shè)總利潤為m元，根據(jù)條件可以得出每件工藝用品的利潤為（x-20+a）元，再根據(jù)總利潤=銷售總價(jià)-成本總價(jià)建立函數(shù)關(guān)系式即可．

解答：解：設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，根據(jù)統(tǒng)計(jì)表，得

500=30k+b 400=40k+b

，
解得：

k=-10 b=800

，
故函數(shù)關(guān)系式是y=-10x+800；

（2）設(shè)工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤是W元，依題意得
W=（x-20）（-10x+800）
=-10x²+1000x-16000
=-10（x-50）²+9000
則當(dāng)x=50時(shí)，W有最大值9000．
故當(dāng)銷售單價(jià)定為50元∕件時(shí)，工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤最大，最大利潤是9000元．

（3）設(shè)總利潤為m元，則每件工藝用品的利潤為（x-20+a）元，由題意，得
M=（-10x+800）（x-20+a），
=-10x2+10（100-a）x-16000+800a，
=-10（x-50+

1

2

a）²+

5

2

（100-a）²-16000+800a，
∵a=-10＜0，
∴拋物線的開口向下，在對(duì)稱軸的左側(cè)M隨x的增大而增大．
∴x=50-

1

2

a時(shí)，M有最大值．
∵日銷售利潤M隨銷售單價(jià)x的增大而增大，且x≤46，
∴50-

1

2

a≥46，
∴a≤8．
∵a＞4，
∴4＜a≤8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，二次函數(shù)的頂點(diǎn)式的運(yùn)用，不等式的解法和運(yùn)用，解答時(shí)建立二次函數(shù)的解析式，根據(jù)二次函數(shù)的解析式求解是關(guān)鍵．