Question

如圖1，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，BC=DC，∠BAD=120°
（1）求證：AB=AD；
（2）如圖2，點(diǎn)M在邊CD上（端點(diǎn)除外），點(diǎn)N在邊BC上，∠MAN=∠BCD，連接MN
①試判斷線段BN、NM、MD之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；
②若CM=4，DM=1，則CN的長為______（請直接寫出）
⊥⊥

Answer 1

（1）證明：連接AC，
在Rt△ABC和Rt△ADC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），
∴AB=AD；

（2）解：①如圖，把△ADM繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△ABH，
∴AH=AM，BN=MD，∠BAH=∠DAM，
在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，∠BAD=120°，
∴∠BCD=360°-90°×2-120°=60°，
∵∠MAN=∠BCD，
∴∠NAH=∠BAH+∠BAN=∠DAM+∠BAN=∠BAD-∠MAN=120°-60°=60°，
∴∠NAH=∠NAM，
在△AMN和△AHN中，
，
∴△AMN≌△AHN（SAS），
∴NM=NH，
∵NH=BN+BH=BN+DM，
∴NM=BN+DM；

②連接AC，過點(diǎn)M作ME⊥AC于E，
∵Rt△ABC≌Rt△ADC，∠BCD=60°，
∴∠ACD=×60°=30°，
∴ME=CM=×4=2，CE=CM•cos30°=4×=2，
AC=CD÷cos30°=（4+1）÷=，
AD=CD•tan30°=（4+1）•=，
∴AE=AC-CE=-2=，
AB=AD=，
∵∠BAN+∠CAN=90°-30°=60°，
∠EAM+∠CAN=∠MAN=60°，
∴∠BAN=∠EAM，
又∵∠B=∠AEM=90°，
∴△ABN∽△AEM，
∴=，
即=，
解得BN=，
∴CN=BC-BN=DC-BN=（4+1）-=．
分析：（1）連接AC，利用“HL”證明Rt△ABC和Rt△ADC全等，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等證明即可；
（2）①把△ADM繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△ABH，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AH=AM，BN=DM，∠BAH=∠DAM，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理求出∠BCD=60°，然后求出求出∠NAH=60°，從而得到∠NAH=∠NAM，再利用“邊角邊”證明△AMN和△AHN全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得NM=NH，然后整理即可得解；
②連接AC，過點(diǎn)M作ME⊥AC于E，然后求出ME、CE、AC、AD，再求出AE，然后求出∠BAN=∠EAM，然后根據(jù)兩組角對應(yīng)相等，兩三角形相似求出△ABN和△AEM相似，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出BN，再根據(jù)CN=BC-BN代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解．
點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，（2）①難點(diǎn)在于利用旋轉(zhuǎn)作出全等三角形，②難點(diǎn)在于作輔助線構(gòu)造出相似三角形．