Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c的頂點(diǎn)為Q，拋物線與x軸交于A（﹣1，0），B（5，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求拋物線的解析式及其頂點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（2）在該拋物線上求一點(diǎn)P，使得S△PAB=S△ABC ， 求出點(diǎn)P的坐標(biāo)：
（3）若點(diǎn)D是第一象限拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥x軸，垂足為E．有一個(gè)同學(xué)說：“在第一象限拋物線上的所有點(diǎn)中，拋物線的頂點(diǎn)Q與x軸相距最遠(yuǎn)，所以當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)Q時(shí)，折線D﹣E﹣O的長度最長．”這個(gè)同學(xué)的說法正確嗎？請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（5，0）兩點(diǎn)，

∴y=﹣（x+1）（x﹣5）=﹣x2+4x+5，

∴拋物線的解析為y=﹣x2+4x+5；

∵y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9，

∴頂點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，9）

（2）

解：在y=﹣x2+4x+5中，當(dāng)x=0時(shí)，y=5，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（0，5），

設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為a，

若S△PAB=S△ABC，則|a|=5，

解得a=±5．

當(dāng)a=5時(shí)，﹣x2+4x+5=5，解得x=0（舍去）或x=4，此時(shí)點(diǎn)p的坐標(biāo)為（4，5）；

當(dāng)a=﹣5時(shí)，﹣x2+4x+5=﹣5，解得x=2± ，此時(shí)點(diǎn)p的坐標(biāo)為（2+ ，﹣5）或（2﹣ ，﹣5）；

綜上，點(diǎn)p的坐標(biāo)為（4，5）或（2+ ，﹣5）或（2﹣ ，﹣5）

（3）

解：這個(gè)同學(xué)的說法不正確

理由：設(shè)D（t，﹣t2+4t+5），折線D﹣E﹣O的長度為L，

則L=﹣t2+4t+5+t=﹣（t﹣ ）2+ ．

∵a＜0，

∴當(dāng)t= 時(shí)，L最大值= ．

而當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)Q重合時(shí)，L=9+2=11＜ ，

∴該同學(xué)的說法不正確

【解析】（1）由拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（5，0）兩點(diǎn)，可直接利用交點(diǎn)式求得y=﹣（x+1）（x﹣5）=﹣x2+4x+5，繼而求得頂點(diǎn)Q的坐標(biāo)；（2）首先設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為a，由S△PAB=S△ABC ， 可得a=±5，然后可得﹣x2+4x+5=±5，繼而求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）首先設(shè)D（t，﹣t2+4t+5），折線D﹣E﹣O的長度為L，則可得L=﹣t2+4t+5+t，然后求得最大值，即可知這個(gè)同學(xué)的是否說法正確．