Question

如圖，在邊長為a的等邊三角形ABC中作內(nèi)接矩形EFGH，使FG在BC邊上，點E，H分別在AB，AC邊上，求這個矩形面積S的最大值．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),二次函數(shù)的最值

專題：

分析：如圖，作輔助線；求出AN=

3

2

a，AM=

3

2

a-λ；證明△AEH∽△ABC，求出EH=a-

2 3

3

λ，S=λ（a-

2 3

3

λ）=-

2 3

3

λ2+aλ，即可解決問題．

解答：解：如圖，過點A作AN⊥BC于點N，交EH于點M；
∵四邊形EFGH為矩形，
∴EF=MN（設(shè)為λ），EH∥BC；
∵△ABC是邊長為a的等邊三角形，
∴∠B=60°，sin60°=

AN

AB

，
∴AN=

3

2

a，AM=

3

2

a-λ；
∵EH∥BC，
∴△AEH∽△ABC，
∴

AM

AN

=

EH

BC

，
解得EH=a-

2 3

3

λ，
∴S=λ（a-

2 3

3

λ）
=-

2 3

3

λ2+aλ，
∴S的最大值為Smax=

-a2

4×(- 2 3 3 )

=

3

8

a2．

點評：該題主要考查了相似三角形的判定及其性質(zhì)、二次函數(shù)的最值公式及其應(yīng)用等知識點問題；解題的關(guān)鍵是作輔助線，靈活運用有關(guān)定理來分析、判斷、推理或解答．