【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,一次函數(shù)(m為常數(shù))的圖象與x軸交于點A(﹣3,0),與y軸交于點C.以直線x=1為對稱軸的拋物線y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),且a≠0)經(jīng)過A,C兩點,并與x軸的正半軸交于點B.
(1)求m的值及拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)設(shè)E是y軸右側(cè)拋物線上一點,過點E作直線AC的平行線交x軸于點F.是否存在這樣的點E,使得以A,C,E,F為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,求出點E的坐標(biāo)及相應(yīng)的平行四邊形的面積;若不存在,請說明理由;
(3)若P是拋物線對稱軸上使△ACP的周長取得最小值的點,過點P任意作一條與y軸不平行的直線交拋物線于M1(x1,y1),M2(x2,y2)兩點,試探究是否為定值,并寫出探究過程.
【答案】(1)m=,y=x2+x+;(2)E(2, ),SACEF=;E′(+1, ),SACF′E′= ;(3)定值, =1.
【解析】試題分析:(1)首先求得m的值和直線的解析式,根據(jù)拋物線對稱性得到B點坐標(biāo),根據(jù)A、B點坐標(biāo)利用交點式求得拋物線的解析式;
(2)存在點E使得以A、C、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形.如答圖1所示,過點E作EG⊥x軸于點G,構(gòu)造全等三角形,利用全等三角形和平行四邊形的性質(zhì)求得E點坐標(biāo)和平行四邊形的面積.注意:符合要求的E點有兩個,如答圖1所示,不要漏解;
(3)本問較為復(fù)雜,如答圖2所示,分幾個步驟解決:
第1步:確定何時△ACP的周長最小.利用軸對稱的性質(zhì)和兩點之間線段最短的原理解決;
第2步:確定P點坐標(biāo)P(1,3),從而直線M1M2的解析式可以表示為y=kx+3﹣k;
第3步:利用根與系數(shù)關(guān)系求得M1、M2兩點坐標(biāo)間的關(guān)系,得到x1+x2=2﹣4k,x1x2=﹣4k﹣3.這一步是為了后續(xù)的復(fù)雜計算做準(zhǔn)備;
第4步:利用兩點間的距離公式,分別求得線段M1M2、M1P和M2P的長度,相互比較即可得到結(jié)論: =1為定值.這一步涉及大量的運算,注意不要出錯,否則難以得出最后的結(jié)論.
解:(1)∵經(jīng)過點(﹣3,0),
∴0=+m,解得m=,
∴直線解析式為,C(0, ).
∵拋物線y=ax2+bx+c對稱軸為x=1,且與x軸交于A(﹣3,0),
∴另一交點為B(5,0),
設(shè)拋物線解析式為y=a(x+3)(x﹣5),
∵拋物線經(jīng)過C(0, ),
∴a3(﹣5),解得a=,
∴拋物線解析式為y=x2+x+;
(2)假設(shè)存在點E使得以A、C、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形,
則AC∥EF且AC=EF.如答圖1,
(i)當(dāng)點E在點E位置時,過點E作EG⊥x軸于點G,
∵AC∥EF,∴∠CAO=∠EFG,
又∵,
∴△CAO≌△EFG,
∴EG=CO=,即yE=,
∴=xE2+xE+,解得xE=2(xE=0與C點重合,舍去),
∴E(2, ),SACEF=;
(ii)當(dāng)點E在點E′位置時,過點E′作E′G′⊥x軸于點G′,
同理可求得E′(+1, ),SACF′E′= .
(3)要使△ACP的周長最小,只需AP+CP最小即可.
如答圖2,連接BC交x=1于P點,
因為點A、B關(guān)于x=1對稱,根據(jù)軸對稱性質(zhì)以及兩點之間線段最短,可知此時AP+CP最小(AP+CP最小值為線段BC的長度).
∵B(5,0),C(0, ),
∴直線BC解析式為y=x+,
∵xP=1,∴yP=3,即P(1,3).
令經(jīng)過點P(1,3)的直線為y=kx+b,則k+b=3,即b=3﹣k,
則直線的解析式是:y=kx+3﹣k,
∵y=kx+3﹣k,y=x2+x+,
聯(lián)立化簡得:x2+(4k﹣2)x﹣4k﹣3=0,
∴x1+x2=2﹣4k,x1x2=﹣4k﹣3.
∵y1=kx1+3﹣k,y2=kx2+3﹣k,
∴y1﹣y2=k(x1﹣x2).
根據(jù)兩點間距離公式得到:
M1M2= ==
∴M1M2===4(1+k2).
又M1P===;
同理M2P=
∴M1PM2P=(1+k2)=(1+k2)=(1+k2)=4(1+k2).
∴M1PM2P=M1M2,
∴=1為定值.
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【題目】小麗購買學(xué)習(xí)用品的收據(jù)如表,因污損導(dǎo)致部分?jǐn)?shù)據(jù)無法識別,根據(jù)下表,解決下列問題:
(1)小麗買了自動鉛筆、記號筆各幾支?
(2)若小麗再次購買軟皮筆記本和自動鉛筆兩種文具,共花費15元,則有哪幾種不同的購買方案?
商品名 | 單價(元) | 數(shù)量(個) | 金額(元) |
簽字筆 | 3 | 2 | 6 |
自動鉛筆 | 1.5 | ● | ● |
記號筆 | 4 | ● | ● |
軟皮筆記本 | ● | 2 | 9 |
圓規(guī) | 3.5 | 1 | ● |
合計 | 8 | 28 |
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【題目】下列從左到右的變形是因式分解的是( 。
A.(a+3)(a﹣3)=a2﹣9
B.x2+4x+10=(x+2)2+6
C.x2﹣6x+9=(x﹣3)2
D.x2﹣4+3x=(x﹣2)(x+2)+3x
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【題目】將拋物線y=x2﹣6x+5向上平移2個單位長度,再向右平移1個單位長度后,得到的拋物線解析式是( )
A.y=(x﹣4)2﹣6
B.y=(x﹣4)2﹣2
C.y=(x﹣2)2﹣2
D.y=(x﹣1)2﹣3
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【題目】如圖,在每個小正方形邊長為1的網(wǎng)格中,點A,點C均落在格點上,點B為中點.
(Ⅰ)計算AB的長等于_____;
(Ⅱ)若點P,Q分別為線段BC,AC上的動點,且BP=CQ,請在如圖所示的網(wǎng)格中,用無刻度的直尺,畫出當(dāng)PQ最短時,點P,Q的位置,并簡要說明畫圖方法(不要求證明)_____.
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【題目】在直線l上依次擺放著七個正方形(如圖所示),已知斜放置的三個正方形的面積分別是1,2,3,正放置的四個正方形的面積依次是S1 , S2 , S3 , S4 , 則S1 + S2 +S3 +S4 = .
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【題目】據(jù)統(tǒng)計,“五一”小長假期間,大連市共接待海內(nèi)外游客825400余人次,數(shù)825100用科學(xué)記數(shù)法表示為( )
A.8251×102
B.825.1×103
C.82.51×104
D.8.251×105
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A.沒有變化
B.減少了5n元
C.增加5n元
D.減少了25n元
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某中學(xué)為迎接校運會,籌集7000元購買了甲、乙兩種品牌的籃球共30個,其中購買甲品牌籃球花費3000元,已知甲品牌籃球比乙品牌籃球的單價高50%,求乙品牌籃球的單價及個數(shù)。
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