Question

如圖，AB是半圓O的直徑，點P在BA的延長線上，PD切⊙O于點C，BD⊥PD，垂足為D，連接BC．

（1）求證：BC平分∠PBD；

（2）求證：BC²=AB•BD；

（3）若PA=6，PC=6，求BD的長．

Answer 1

（1）證明：連接OC，

∵PD為圓O的切線，∴OC⊥PD，

∵BD⊥PD，∴OC∥BD，

∴∠OCB=∠CBD，

∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，

∴∠CBD=∠OBC，

則BC平分∠PBD；

（2）證明：連接AC，

∵AB為圓O的直徑，∴∠ACB=90°，

∵∠ACB=∠CDB=90°，∠ABC=∠CBD，

∴△ABC∽△CBD，

∴=，即BC²=AB•BD；

（3）解：∵PC為圓O的切線，PAB為割線，

∴PC²=PA•PB，即72=6PB，解得：PB=12，

∴AB=PB﹣PA=12﹣6=6，

∴OC=3，PO=PA+AO=9，

∵△OCP∽△BDP，

∴=，即=，

則BD=4．