Question

已知：如圖N1­9，在△ABC中，AB＝AC＝6，cosB＝，⊙O的半徑為OB，圓心在AB上，且分別與邊AB，BC相交于D，E兩點(diǎn)，但⊙O與邊AC不相交，又EF⊥AC，垂足為F.

(1)判斷直線EF與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(2)設(shè)OB＝x，CF＝y.

①求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

②當(dāng)直線DF與⊙O相切時(shí)，求OB的長(zhǎng)．

圖N1­9

Answer 1

解：(1)直線EF與⊙O相切．理由如下：

如圖104(1)，連接OE，

則OE＝OB，∠OBE＝∠OEB.

∵AB＝AC，∴∠OBE＝∠C，∴∠OEB＝∠C.

∴OE∥AC.∵EF⊥AC，∴EF⊥OE.

∵點(diǎn)E在⊙O上，∴直線EF與⊙O相切．

(2)①如圖104(1)，作AH⊥BC，H為垂足，

那么BH＝BC.

∵AB＝6，cosB＝，∴BH＝2，BC＝4.

∵OE∥AC，∴△BOE∽△BAC.

∴＝，即＝，

∴BE＝.∴EC＝4－x.

在Rt△ECF中，cosC＝cos B＝，

∴CF＝EC·cosC＝×，

∴所求函數(shù)的關(guān)系式為y＝－x.

   

(1)        　　　 (2)

圖104

②如圖104(2)，連接OE，DE，OF，

由EF，DF與⊙O相切，

∴FD＝FE，且∠DFO＝∠EFO，

則OF垂直平分DE.

由∠DEB＝90°，∴BC⊥DE.

∴OF∥BC，則四邊形OBCF是等腰梯形．

∴OB＝CF，得－x＝x，

解得x＝，即OB＝.