已知AB是半徑為1的圓O的一條弦,且AB=a<1,以AB為一邊在圓O內(nèi)作正三角形ABC,點(diǎn)D為圓O上不同于點(diǎn)A的一點(diǎn),且DB=AB=a,DC的延長線交圓O于點(diǎn)E,求AE的長.
分析:連接OA,OB,OD,OE,設(shè)∠CDB=x,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠CAB=∠CBA=60°,CB=AB,而DB=AB,則∠BCD=x,利用三角形內(nèi)角和定理得∠CBD=180°-2x,則∠ABD=∠ABC+∠CBD=60°+180°-2x=240°-2x,易證得△OAB≌△OBD,則∠ABO=∠DBO,可計(jì)算出∠ABO=
1
2
∠ABD=
1
2
(240°-2x)=120°-x,而OA=OB,于是∠OAB=∠OBA=120°-x,根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)得到∠EDB+∠EAB=180°,則∠EAB=180°-x,可計(jì)算出∠EAC=∠EAB-∠CAB=180°-x-60°=120°-x,即∠EAC=∠OAB,則有∠EAO=∠BAC=60°,而OE=OA,所以△OAE為等邊三角形,即可得到AE=OA=1.
解答:解:如圖,連接OA,OB,OD,OE,設(shè)∠CDB=x.
∵△ABC為等邊三角形,
∴∠CAB=∠CBA=60°,CB=AB,
而DB=AB,
∴BC=BD,
∴∠BCD=x,
∴∠CBD=180°-2x,
∴∠ABD=∠ABC+∠CBD=60°+180°-2x=240°-2x,
易證得△OAB≌△OBD,
∴∠ABO=∠DBO,
∴∠ABO=
1
2
∠ABD=
1
2
(240°-2x)=120°-x,
而OA=OB,
∴∠OAB=∠OBA=120°-x,
又∵∠EDB+∠EAB=180°,
∴∠EAB=180°-x,
∴∠EAC=∠EAB-∠CAB=180°-x-60°=120°-x,
∴∠EAC=∠OAB,
∴∠EAO=∠BAC=60°,
而OE=OA,
∴△OAE為等邊三角形,
∴AE=OA=1.
點(diǎn)評:本題考查了圓的綜合題:圓的內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ);熟練掌握和運(yùn)用等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理以及等腰三角形的性質(zhì).
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A、
5
2
a
B、1
C、
3
2
D、a

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14、如圖,已知AB是半徑為1的圓O的一條弦,且AB<1,以AB為一邊在圓O內(nèi)作正△ABC,點(diǎn)D為圓O上不同于點(diǎn)A的一點(diǎn),且DB=AB,DC的延長線交圓O于點(diǎn)E,試探究AE的長是否為定值(不隨AB長度的變化而變化)?若為定值,求出這個(gè)定值;若不為定值,試確定AE與AB長之間的關(guān)系.
AE=AB

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