20.如圖,已知斜坡AB長為80米,坡角(即∠BAC)為30°,BC⊥AC,現(xiàn)計(jì)劃在斜坡中點(diǎn)D處挖去部分坡體(用陰影表示)修建一個平行于水平線CA的平臺DE和一條新的斜坡BE.
(1)若修建的斜坡BE的坡角為45°,求平臺DE的長;(結(jié)果保留根號)
(2)一座建筑物GH距離A處36米遠(yuǎn)(即AG為36米),小明在D處測得建筑物頂部H的仰角(即∠HDM)為30°.點(diǎn)B、C、A、G、H在同一個平面內(nèi),點(diǎn)C、A、G在同一條直線上,且HG⊥CG,求建筑物GH的高度.(結(jié)果保留根號)

分析 (1)根據(jù)題意得出∠BEF=45°,解直角△BDF,求出BF,DF,進(jìn)而得出EF的長,即可得出答案;
(2)利用在Rt△DPA中,DP=$\frac{1}{2}$AD,以及PA=AD•cos30°進(jìn)而得出DM的長,利用HM=DM•tan30°得出即可.

解答 解:(1)∵修建的斜坡BE的坡角為45°,
∴∠BEF=45°,
∵∠DAC=∠BDF=30°,AD=BD=40,
∴BF=EF=$\frac{1}{2}$BD=20,DF=$20\sqrt{3}$,
∴DE=DF-EF=20$\sqrt{3}$-20,
∴平臺DE的長為(20$\sqrt{3}$-20)米;

(2)過點(diǎn)D作DP⊥AC,垂足為P.
在Rt△DPA中,DP=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$×40=20,PA=AD•cos30°=20$\sqrt{3}$,
在矩形DPGM中,MG=DP=20,DM=PG=PA+AG=20$\sqrt{3}$+36.
在Rt△DMH中,HM=DM•tan30°=(20$\sqrt{3}$+36)×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=20+12$\sqrt{3}$,
則GH=HM+MG=20+12$\sqrt{3}$+20=40+12$\sqrt{3}$.
答:建筑物GH高為(40+12$\sqrt{3}$)米.

點(diǎn)評 此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題以及仰角俯角問題,根據(jù)圖形構(gòu)建直角三角形,進(jìn)而利用銳角三角函數(shù)得出是解題關(guān)鍵.

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