Question

如圖，已知點(diǎn)A（2，0）、B（-1，1），點(diǎn)P是直線y=-x+4上任意一點(diǎn)．
（1）當(dāng)點(diǎn)P在什么位置時，△PAB的周長最小？求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及周長的最小值；
（2）在（1）的條件下，求出△PAB的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：軸對稱-最短路線問題,一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征

專題：

分析：（1）先根據(jù)對稱找出P點(diǎn)的位置，求出A的對稱點(diǎn)C的坐標(biāo)，求出直線BC解析式，求出兩函數(shù)組成的方程組的解，即可求出P的坐標(biāo)，即可求出答案；
（2）根據(jù)S_△PAB=S_△PAF-S_△BAF代入求出即可．

解答：解：（1）作出點(diǎn)A關(guān)于直線y=-x+4的對稱點(diǎn)C，連結(jié)BC交直線于點(diǎn)P，
∴PA=PC，AD=CD，
則PB+PA=PB+PC=BC，
由直線y=-x+4得與x軸上的交點(diǎn)D為（4，0）、與y軸的交點(diǎn)為E為（0，4），
∴OD=OE=4，則∠ODE=45°，則∠ADC=90°，
∴AD=CD=2，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（4，2），
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，則有

-k+b=1 4k+b=2

，
解得：k=

1

5

，b=

6

5

，
即直線BC的解析式為：y=

1

5

x+

6

5

．
由方程組

y= 1 5 x+ 6 5 y=-x+4

得：

x= 7 3 y= 5 3

，
即P的坐標(biāo)是（

7

3

，

5

3

），
由勾股定理得BC=

26

、AB=

10

，
∴△PAB的周長是

26

+

10

；
（2）直線y=x+4與x軸交于F點(diǎn)，如圖2，
由直線BC的解析式y(tǒng)=

1

5

x+

6

5

得：點(diǎn)F的坐標(biāo)是（-6，0），
∴S_△PAB=S_△PAF-S_△BAF=

1

2

×AF×（

5

3

-1）=

8

3

．

點(diǎn)評：本題考查了軸對稱性質(zhì)，勾股定理，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，三角形的面積等知識點(diǎn)的應(yīng)用，題目比較典型，但是有一定的難度．