【題目】如圖,△ABC中,∠C=90°,AB=10cm,BC=6cm,若動點P從點C開始,按C→A→B→C的路徑運(yùn)動,且速度為每秒1cm,設(shè)出發(fā)的時間為t秒。
(1)出發(fā)2秒后,求△ABP的周長。
(2)當(dāng)t為幾秒時,BP平分∠ABC?
(3)問t為何值時,△BCP為等腰三角形?
(4)另有一點Q,從點C開始,按C→B→A→C的路徑運(yùn)動,且速度為每秒2cm,若P、Q兩點同時出發(fā),當(dāng)P、Q中有一點到達(dá)終點時,另一點也停止運(yùn)動。當(dāng)t為何值時,直線PQ把△ABC的周長分成相等的兩部分?
【答案】(1)16+2;(2)t=3秒時,AP平分∠CAB;(3)當(dāng)t為6s或12s或10.8s或13s時,△BCP為等腰三角形;(4)當(dāng)t為4秒或12秒時,直線PQ把△ABC的周長分成相等的兩部分.
【解析】
(1)由勾股定理求出AC=8 cm,動點P從點C開始,出發(fā)2秒后,則CP=2 cm,AP=6 cm,由勾股定理求出PB,即可得出結(jié)果;
(2)過點P作PD⊥AB于點D,由HL證明Rt△APD≌Rt△APC,得出AD=AC=6cm,因此BD=10-6=4cm,設(shè)PC=x cm,則PB=(8-x)cm,由勾股定理得出方程,解方程即可;
(3)分兩種情況:①若P在邊AC上時,BC=CP=6cm,此時用的時間為6s;
②若P在AB邊上時,有三種情況:
i若使BP=CB=6cm,此時AP=4cm,P運(yùn)動的路程為4+8=12cm,用的時間為12時;
ii)若CP=BC=6cm,過C作CD⊥AB于點D,根據(jù)面積法求得高CD=4.8cm,求出BP=2PD=7.2cm,得出P運(yùn)動的路程為18-7.2=10.8cm,即可得出結(jié)果;
ⅲ)若BP=CP,則∠PCB=∠B,證出PA=PC得出PA=PB=5cm,得出P的路程為13cm,即可得出結(jié)果;
(4)分兩種情況:①當(dāng)P、Q沒相遇前:如圖6,P點走過的路程為t,Q走過的路程為2t,根據(jù)題意得出方程,解方程即可;
②當(dāng)P、Q沒相遇后:當(dāng)P點在AB上,Q在AC上,則AP=t-8,AQ=2t-16,根據(jù)題意得出方程,解方程即可;即可得出結(jié)果.
(1)如圖1,由∠C=90,AB=10cm,BC=6cm,
∴AC=8 cm,
∵動點P從點C開始,按C→A→B→C的路徑運(yùn)動,且速度為每秒1cm,
∴出發(fā)2秒后,則CP=2 cm,AP=6 cm,
∵∠C=90°,
∴由勾股定理得PB= =2cm,
∴△ABP的周長為:AP+PB+AB=(16+2) cm.
(2)如圖2所示,過點P作PD⊥AB于點D,
∵AP平分∠CAB,
∴PD=PC.
在Rt△APD與Rt△APC中,
,
∴Rt△APD≌Rt△APC(HL),
∴AD=AC=6 cm,
∴BD=106=4 cm.
設(shè)PC=x cm,則PB=(8x)cm
在Rt△BPD中,PD2+BD2=PB2,
即x2+42=(8x)2,
解得:x=3,
∴當(dāng)t=3秒時,AP平分∠CAB;
(3)①如圖3,若P在邊AC上時,BC=CP=6cm,
此時用的時間為6s,△BCP為等腰三角形
②若P在AB邊上時,有三種情況:
i)如圖4,若使BP=CB=6cm,此時AP=4cm,P運(yùn)動的路程為4+8=12cm,
所以用的時間為12s時,△BCP為等腰三角形;
ii)如圖5,若CP=BC=6cm,
過C作CD⊥AB于點D,根據(jù)面積法得:高CD=4.8cm,
在Rt△PCD中,PD=3.6cm,∴BP=2PD=7.2cm,
∴P運(yùn)動的路程為187.2=10.8cm,
∴用的時間為10.8s時,△BCP為等腰三角形;
ⅲ)如圖6,若BP=CP,則∠PCB=∠B,
∵∠ACP+∠BCP=90°,∠B+∠A=90°,
∴∠ACP=∠A,
∴PA=PC
∴PA=PB=5cm
∴P的路程為13cm,所以時間為13s時,△BCP為等腰三角形.
綜上所述,當(dāng)t為6s或12s或10.8s或13s時,△BCP為等腰三角形;
(4)分兩種情況:①當(dāng)P、Q沒相遇前:如圖7,
P點走過的路程為tcm,Q走過的路程為2tcm,
∵直線PQ把△ABC的周長分成相等的兩部分,
∴t+2t=12,
∴t=4s;
②當(dāng)P、Q沒相遇后:如圖8,
當(dāng)P點在AB上,Q在AC上,則AP=t8,AQ=2t16,
∵直線PQ把△ABC的周長分成相等的兩部分,
∴t8+2t16=12,
∴t=12s,
∴當(dāng)t為4秒或12秒時,直線PQ把△ABC的周長分成相等的兩部分.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分10分)
問題提出:用n根相同的木棒搭一個三角形(木棒無剩余),能搭成多少種不同的等腰三角形?
問題探究:不妨假設(shè)能搭成種不同的等腰三角形,為探究之間的關(guān)系,我們可以從特殊入手,通過試驗、觀察、類比,最后歸納、猜測得出結(jié)論.
探究一:
用3根相同的木棒搭成一個三角形,能搭成多少種不同的三角形?
此時,顯然能搭成一種等腰三角形。所以,當(dāng)時,
用4根相同的木棒搭成一個三角形,能搭成多少種不同的三角形?
只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒這一種情況,不能搭成三角形
所以,當(dāng)時,
用5根相同的木棒搭成一個三角形,能搭成多少種不同的三角形?
若分成1根木棒、1根木棒和3根木棒,則不能搭成三角形
若分為2根木棒、2根木棒和1根木棒,則能搭成一種等腰三角形
所以,當(dāng)時,
用6根相同的木棒搭成一個三角形,能搭成多少種不同的三角形?
若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒,則不能搭成三角形
若分為2根木棒、2根木棒和2根木棒,則能搭成一種等腰三角形
所以,當(dāng)時,
綜上所述,可得表①
3 | 4 | 5 | 6 | |
1 | 0 | 1 | 1 |
探究二:
用7根相同的木棒搭成一個三角形,能搭成多少種不同的等腰三角形?
(仿照上述探究方法,寫出解答過程,并把結(jié)果填在表②中)
分別用8根、9根、10根相同的木棒搭成一個三角形,能搭成多少種不同的等腰三角形?
(只需把結(jié)果填在表②中)
7 | 8 | 9 | 10 | |
你不妨分別用11根、12根、13根、14根相同的木棒繼續(xù)進(jìn)行探究,……
解決問題:用根相同的木棒搭一個三角形(木棒無剩余),能搭成多少種不同的等腰三角形?
(設(shè)分別等于、、、,其中是整數(shù),把結(jié)果填在表③中)
問題應(yīng)用:用2016根相同的木棒搭一個三角形(木棒無剩余),能搭成多少種不同的等腰三角形?(要求寫出解答過程)
其中面積最大的等腰三角形每個腰用了__________________根木棒。(只填結(jié)果)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】九年級某班數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)過市場調(diào)查整理出某種商品在第x天(1≤x≤90,且x為整數(shù))的售價與銷售量的相關(guān)信息如下.已知商品的進(jìn)價為30元/件,設(shè)該商品的售價為y(單位:元/件),每天的銷售量為p(單位:件),每天的銷售利潤為w(單位:元).
時間x(天) | 1 | 30 | 60 | 90 |
每天銷售量p(件) | 198 | 140 | 80 | 20 |
(1)求出w與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)問銷售該商品第幾天時,當(dāng)天的銷售利潤最大?并求出最大利潤;
(3)該商品在銷售過程中,共有多少天每天的銷售利潤不低于5600元?請直接寫出結(jié)果.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,D是BC邊上的點(不與點B、C重合),連結(jié)AD.
(1)如圖1,當(dāng)點D是BC邊上的中點時,S△ABD:S△ACD= ;
(2)如圖2,當(dāng)AD是∠BAC的平分線時,若AB=m,AC=n,求S△ABD:S△ACD的值(用含m,n的代數(shù)式表示)
(3)如圖3,AD平分∠BAC,延長AD到E,使得AD=DE,連接BE,如果AC=2,AB=4,S△BDE=6,
那么S△ABC = .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀與理解:
折紙,常常能為證明一個命題提供思路和方法.例如,在△ABC中,AB>AC(如圖),怎樣證明∠C>∠B呢?
把AC沿∠A的角平分線AD翻折,因為AB>AC,所以點C落在AB上的點處,即,據(jù)以上操作,易證明≌,所以,又因為>∠B,所以∠C>∠B.
感悟與應(yīng)用:
(1)如圖(a),在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,CD平分∠ACB,試判斷AC和AD、BC之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
(2)如圖(b),在四邊形ABCD中,AC平分∠BAD,AC=16,AD=8,DC=BC=12,
① 求證:∠B+∠D=180°;
② 求AB的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】國務(wù)院辦公廳在2015年3月16日發(fā)布了《中國足球發(fā)展改革總體方案》,這是中國足球史上的重大改革,為進(jìn)一步普及足球知識,傳播足球文化,我市某區(qū)在中小學(xué)舉行了“足球在身邊”知識競賽,各類獲獎學(xué)生人數(shù)的比例情況如圖所示,其中獲得三等獎的學(xué)生共50名,請結(jié)合圖中信息,解答下列問題:
(1)獲得一等獎的學(xué)生人數(shù);
(2)在本次知識競賽活動中,A,B,C,D四所學(xué)校表現(xiàn)突出,現(xiàn)決定從這四所學(xué)校中隨機(jī)選取兩所學(xué)校舉行一場足球友誼賽,請用畫樹狀圖或列表的方法求恰好選到A,B兩所學(xué)校的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)的圖象經(jīng)過、兩點,與反比例函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)交于點M,△OBM的面積為2.
(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式;
(2)求AM的長度;
(3)P是x軸上一點,當(dāng)AM⊥PM時,求出點P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,數(shù)軸上的點A、B、C、D、E表示連續(xù)的五個整數(shù),對應(yīng)的數(shù)分別為a、b、c、d、e。
(1)若a+e=0,直接寫出代數(shù)式b+c+d的值為_____;
(2)若a+b=7,先化簡,再求值:;
(3)若a+b+c+d+e=5,數(shù)軸上的點M表示的實數(shù)為m,且滿足MA+ME>12,則m的范圍是____。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知∠MON=120°,點A,B分別在OM,ON上,且OA=OB=a,將射線OM繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到OM′,旋轉(zhuǎn)角為α(0°<α<120°且α≠60°),作點A關(guān)于直線OM′的對稱點C,畫直線BC交OM′于點D,連接AC,AD,有下列結(jié)論:
①AD=CD;
②∠ACD的大小隨著α的變化而變化;
③當(dāng)α=30°時,四邊形OADC為菱形;
④△ACD面積的最大值為a2;
其中正確的是_____.(把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號都填上).
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