Question

【題目】如圖，矩形的頂點(diǎn)分別在軸的正半軸上，點(diǎn)在反比例函數(shù)的第一象限內(nèi)的圖像上，，動(dòng)點(diǎn)在軸的上方，且滿足.

(1)若點(diǎn)在這個(gè)反比例函數(shù)的圖像上，求點(diǎn)的坐標(biāo);

(2)連接，求的最小值;

(3)若點(diǎn)是平面內(nèi)一點(diǎn)，使得以為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，則請(qǐng)你直接寫出滿足條件的所有點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)P的坐標(biāo)為(6,2)；（2）；（3）Q (4,5)，Q (4+,5)，Q (42,1)，Q (4+2,1)．

【解析】

(1)首先根據(jù)點(diǎn)B坐標(biāo)，確定反比例函數(shù)的解析式，設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為m(m>0)，根據(jù)，構(gòu)建方程即可解決問題；

(2)過點(diǎn)(0,2)，作直線l⊥y軸,由(1)知，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為2，推出點(diǎn)P在直線l上作點(diǎn)O關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)O'，則OO'=4，連接AO'交直線l于點(diǎn)P，此時(shí)PO+PA的值最小；

(3)分兩種情形分別求解即可解決問題；

(1)∵四邊形OABC是矩形，OA=4，OC=3，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,3)，

∵點(diǎn)B在反比例函數(shù)的第一象限內(nèi)的圖象上

∴k=12，

∴y=，

設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為m(m>0)，

∵．

∴OAm=OAOC，

∴m=2，

當(dāng)點(diǎn)，P在這個(gè)反比例函數(shù)圖象上時(shí)，則2= ，

∴x=6

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(6,2)．

(2)過點(diǎn)(0,2)，作直線l⊥y軸．

由(1)知，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為2，

∴點(diǎn)P在直線l上

作點(diǎn)O關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)O'，則OO'=4，

連接AO'交直線l于點(diǎn)P，此時(shí)PO+PA的值最小，

則PO+PA的最小值=PO'+PA=O'A=．

(3)

①如圖2中，當(dāng)四邊形ABQP是菱形時(shí)，易知AB=AP=PQ=BQ=3，P (4,2)，P (4,2)，

∴Q (4,5)，Q (4+,5)．

②如圖3中，當(dāng)四邊形ABPQ是菱形時(shí)，P (42,2)，P(4+2,2)，

∴Q (42,1)，Q (4+2,1)．

綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Q (4,5)，Q (4+,5)，Q (42,1)，Q (4+2,1)．