Question

如圖，已知反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0，k是常數(shù)）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，4），點(diǎn)B（m，n），其中m＞1，AM⊥x軸，垂足為M，BN⊥y軸，垂足為N，AM與BN的交點(diǎn)為C．
（1）寫出反比例函數(shù)解析式；
（2）求證：△ACB∽△NOM；
（3）若△ACB與△NOM的相似比為2，求出B點(diǎn)的坐標(biāo)及AB所在直線的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：數(shù)形結(jié)合

分析：（1）把A點(diǎn)坐標(biāo)代入y=

k

x

可得k的值，進(jìn)而得到函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)可得AC=4-n，BC=m-1，ON=n，OM=1，則

AC

NO

=

4-n

n

，再根據(jù)反比例函數(shù)解析式可得

4

n

=m，則

AC

ON

=m-1，而

BC

MO

=

m-1

1

，可得

AC

NO

=

BC

MO

，再由∠ACB=∠NOM=90°，可得△ACB∽△NOM；
（3）根據(jù)△ACB與△NOM的相似比為2可得m-1=2，進(jìn)而得到m的值，然后可得B點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出AB的解析式即可．

解答：解：（1）∵y=

k

x

（x＞0，k是常數(shù)）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，4），
∴k=4，
∴反比例函數(shù)解析式為y=

4

x

；

（2）∵點(diǎn)A（1，4），點(diǎn)B（m，n），
∴AC=4-n，BC=m-1，ON=n，OM=1，
∴

AC

NO

=

4-n

n

=

4

n

-1，
∵B（m，n）在y=

4

x

上，
∴

4

n

=m，
∴

AC

ON

=m-1，而

BC

MO

=

m-1

1

，
∴

AC

NO

=

BC

MO

，
∵∠ACB=∠NOM=90°，
∴△ACB∽△NOM；

（3）∵△ACB與△NOM的相似比為2，
∴m-1=2，
m=3，
∴B（3，

4

3

），
設(shè)AB所在直線解析式為y=kx+b，
∴

4 3 =3k+b 4=k+b

，
解得

k=- 4 3 b= 16 3

，
∴解析式為y=-

4

3

x+

16

3

．

點(diǎn)評：此題主要考查了反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握凡是函數(shù)圖象經(jīng)過的點(diǎn)，必然能使函數(shù)解析式左右相等．