Question

已知：直線l：y=-2，拋物線y=ax²+bx+c的對稱軸是y軸，且經過點（0，-1），（2，0）．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）如圖①，點P是拋物線上任意一點，過點P作直線l的垂線，垂足為Q，求證：PO=PQ．
（3）請你參考（2）中結論解決下列問題：
（i）如圖②，過原點作任意直線AB，交拋物線y=ax²+bx+c于點A、B，分別過A、B兩點作直線l的垂線，垂足分別是點M、N，連結ON、OM，求證：ON⊥OM．
（ii）已知：如圖③，點D（1，1），試探究在該拋物線上是否存在點F，使得FD+FO取得最小值？若存在，求出點F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數綜合題

專題：代數幾何綜合題

分析：（1）由拋物線y=ax²+bx+c的對稱軸是y軸，就可以得出-

b

2a

=0，由待定系數法求可以求出拋物線的解析式；
（2）由（1）設出P的坐標，可得PE和OE的值，從而用勾股定理求出PO的值，和PQ=PE+EQ的值進行對比即得出結論；
（3）①由（2）的結論就可以得出BO=BN，AO=AM，由三角形的內角和定理及平行線的性質就可以求出∠MON=90°而得出結論；
②如圖③，作F′H⊥l于H，DF⊥l于G，交拋物線與F，作F′E⊥DG于E，由（2）的結論和根據矩形的性質可以得出結論．

解答：解：（1）由題意，得

- b 2a =0 -1=c 0=4a+2b+c

，
解得：

a= 1 4 b=0 c=-1

，
∴拋物線的解析式為：y=

1

4

x2-1

（2）如圖①，設P（a，

1

4

a²-1），則OE=a，PE=

1

4

a²-1，
∵PQ⊥l，
∴EQ=2，
∴QP=

1

4

a²+1．
在Rt△POE中，由勾股定理，得
PO=

a2+( 1 4 a2-1)2

=

1

4

a2+1，
∴PO=PQ；

（3）①如圖②，∵BN⊥l，AM⊥l，
∴BN=BO，AM=AO，BN∥AM，
∴∠BNO=∠BON，∠AOM=∠AMO，∠ABN+∠BAM=180°．
∵∠BNO+∠BON+∠NBO=180°，∠AOM+∠AMO+∠OAM=180°，
∴∠BNO+∠BON+∠NBO+∠AOM+∠AMO+∠OAM=360°
∴2∠BON+2∠AOM=180°，
∴∠BON+∠AOM=90°，
∴∠MON=90°，
∴ON⊥OM；
②如圖③，作F′H⊥l于H，DF⊥l于G，交拋物線與F，作F′E⊥DG于E，

∴∠EGH=∠GHF′=∠F′EG=90°，FO=FG，F′H=F′O，
∴四邊形GHF′E是矩形，FO+FD=FG+FD=DG，F′O+F′D=F′H+F′D
∴EG=F′H，
∴DE＜DF′，
∴DE+GE＜HF′+DF′，
∴DG＜F′O+DF′，
∴FO+FD＜F′O+DF′，
∴F是所求作的點．
∵D（1，1），
∴F的橫坐標為1，
∴F（1，-

3

4

）．

點評：本題考查了運用待定系數法求一次函數的解析式的運用，勾股定理的運用，平行線的性質的運用，等腰三角形的性質的運用，垂直的判定及性質的運用，解答時求出函數的解析式是關鍵．