Question

如圖，已知在Rt△OAC中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直角頂點(diǎn)C在x軸的正半軸上，反比例函數(shù)y=（k≠0）在第一象限的圖象經(jīng)過OA的中點(diǎn)B，交AC于點(diǎn)D，連接OD．若△OCD∽△ACO，則直線OA的解析式為　　　　　　．

Answer 1

　y=2x　．

【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì)；反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．

【專題】數(shù)形結(jié)合．

【分析】設(shè)OC=a，根據(jù)點(diǎn)D在反比例函數(shù)圖象上表示出CD，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出AC，然后根據(jù)中點(diǎn)的定義表示出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)B在反比例函數(shù)圖象上表示出a、k的關(guān)系，然后用a表示出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式解答．

【解答】解：設(shè)OC=a，

∵點(diǎn)D在y=上，

∴CD=，

∵△OCD∽△ACO，

∴=，

∴AC==，

∴點(diǎn)A（a，），

∵點(diǎn)B是OA的中點(diǎn)，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，），

∵點(diǎn)B在反比例函數(shù)圖象上，

∴=，

∴=2k²，

∴a⁴=4k²，

解得，a²=2k，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，a），

設(shè)直線OA的解析式為y=mx，

則m•=a，

解得m=2，

所以，直線OA的解析式為y=2x．

故答案為：y=2x．

【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，用OC的長度表示出點(diǎn)B的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．