Question

如圖，拋物線y=ax²+4經(jīng)過x軸上的一點(diǎn)A（-2，0），拋物頂點(diǎn)為點(diǎn)C，P是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)．過P（不與B重合）作x軸垂線，垂足為點(diǎn)M，如圖，若△AMC為等腰三角形，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：

分析：把點(diǎn)A坐標(biāo)代入拋物線解析式求出a的值，再求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用勾股定理列式求出AC，然后分AC=AM，AC=CM，AM=CM三種情況討論求解得到點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，再代入拋物線解析式計(jì)算求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，從而得解．

解答：解：∵拋物線y=ax²+4經(jīng)過x軸上的一點(diǎn)A（-2，0），
∴4a+4=0，
解得a=-1，
∴拋物線解析式為y=-x²+4，
令x=0，則y=4，
∴點(diǎn)C（0，4），OC=4，
由勾股定理得，AC=

22+42

=2

5

，
①AC=AM時(shí)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2

5

-2或-2

5

-2，
∵點(diǎn)PM⊥x軸，
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為：-（2

5

-2）²+4=-20+8

5

，
或-（-2

5

-2）²+4=-20-8

5

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2

5

-2，-20+8

5

）或（-2

5

-2，-20-8

5

）；
②AC=CM時(shí)，OA=OM，此時(shí)點(diǎn)B、M重合，不符合題意；
③AM=CM時(shí)，AM=

1

2

AC÷cos∠OAC=

1

2

×2

5

÷

2

2 5

=5，
∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為5-2=3，
∵∵點(diǎn)PM⊥x軸，
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為：-3²+4=-5，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，-5），
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2

5

-2，-20+8

5

）或（-2

5

-2，-20-8

5

）或（3，-5）．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，難點(diǎn)在于根據(jù)等腰三角形的腰長的不同分情況討論．