Question

(本題滿分15分)如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，動點P從點A開始，沿邊AC向點C以每秒1個單位長度的速度運動，動點Q從點C開始，沿邊CB向點B以每秒2個單位長度的速度運動，過點P作PD∥BC，交AB于點D，連結(jié)PQ．點P，Q分別從點A，C同時出發(fā)，當其中一點到達端點時，另兩個點也隨之停止運動，設(shè)運動時間為t秒（t≥0）．

（1）直接用含t的代數(shù)式分別表示：QB= ，PD= ；

（2）是否存在t的值，使四邊形PDBQ為平行四邊形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由；

（3）是否存在t的值，使四邊形PDBQ為菱形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．并探究如何改變Q的速度（勻速運動），使四邊形PDBQ在某一時刻為菱形，求點Q的速度；

Answer 1

【解析】
（1）QB=12-2t，PD=t。

∵PD∥BC，當PD=BQ時四邊形PDBQ為平行四邊形，

即12-2t=t，解得：t=(秒)（或t=3.6秒）

∴存在t的值，使四邊形PDBQ為平行四邊形。

∵t=3.6時，BQ=PD=t=4.8，由△ABC∽△ADP，∴AD=t=6，BD=15-6=9,

∴BD≠PD，∴不存在t使四邊形PDBQ為菱形。

設(shè)點Q的速度為每秒個單位長度

則，，

要使四邊形PDBQ為菱形，則

當時，即，解得：

當，時，即，解得：

∴當點Q的速度為每秒個單位長度時，經(jīng)過秒，四邊形PDBQ是菱形

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題意得：CQ=2t，PA=t，由Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，PD∥BC，即可得tanA=，則可求得QB與PD的值；（2）由BQ∥DP，可得當BQ=DP時，四邊形PDBQ是平行四邊形，據(jù)此列出方程，解得即可；（3）利用（2）中所求，即可求得此時DP與BD的長，由BD≠PD，可判定?PDBQ不能為菱形；然后設(shè)點Q的速度為每秒v個單位長度，由要使四邊形PDBQ為菱形，則PD=BD=BQ，列方程即可求得答案．

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的判定與性質(zhì)；菱形的判定與性質(zhì)．