Question

如圖，已知矩形紙片ABCD，AD=2，AB=4．將紙片折疊，使頂點A與邊CD上的點E重合，折痕FG分別與AB，CD交于點G，F(xiàn)，AE與FG交于點O．
（1）如圖1，求證：A，G，E，F(xiàn)四點圍成的四邊形是菱形；
（2）如圖2，當(dāng)△AED的外接圓與BC相切于點N時，求證：點N是線段BC的中點；
（3）如圖2，在（2）的條件下，求折痕FG的長．

Answer 1

（1）證明見解析（2）證明見解析（3）

解：（1）由折疊的性質(zhì)可得，GA=GE，∠AGF=∠EGF，
∵DC∥AB，
∴∠EFG=∠AGF，
∴∠EFG=∠EGF，
∴EF=EG=AG，
∴四邊形AGEF是平行四邊形（EF∥AG，EF=AG），
又∵AG=GE，
∴四邊形AGEF是菱形．
（2）連接ON，

∵△AED是直角三角形，AE是斜邊，點O是AE的中點，△AED的外接圓與BC相切于點N，
∴ON⊥BC，
∵點O是AE的中點，
∴ON是梯形ABCE的中位線，
∴點N是線段BC的中點．
（3）∵OE、ON均是△AED的外接圓的半徑，
∴OE=OA=ON=2，
故可得AE=AB=4，
在RT△ADE中，AD=2，AE=4，
∴∠AED=30°，
在RT△OEF中，OE=2，∠AED=30°，
∴，
故可得FG=
（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)判斷出AG=GE，∠AGF=∠EGF，再由CD∥AB得出∠EFG=∠AGF，從而判斷出EF=AG，得出四邊形AGEF是平行四邊形，繼而結(jié)合AG=GE，可得出結(jié)論．
（2）連接ON，則ON⊥BC，從而判斷出ON是梯形ABCE的中位線，繼而可得出結(jié)論．
（3）根據(jù)（1）可得出AE=AB，繼而在RT△ADE中，可判斷出∠AED為30°，在RT△EFO中求出FO，繼而可得出FG的長度