【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過A(﹣3,0),B(﹣1,0)兩點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式;

(2)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為M,直線y=﹣2x+9與y軸交于點(diǎn)C,與直線OM交于點(diǎn)D.現(xiàn)將拋物線平移,保持頂點(diǎn)在直線OD上.若平移的拋物線與射線CD(含端點(diǎn)C)只有一個(gè)公共點(diǎn),求它的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)的值或取值范圍.

【答案】(1)y=x2+4x+3;(2)h=4,頂點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍是≤h<或h=4.

【解析】

試題分析:(1)直接用待定系數(shù)法就可以求出拋物線的解析式;

(2)由(1)的解析式求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出直線OD的解析式,設(shè)平移后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h,h),就可以表示出平移后的解析式,當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)就可以求出h值,拋物線與直線CD只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)可以得出,得x2+(﹣2h+2)x+h2+h﹣9=0,從而得出=(﹣2h+2)2﹣4(h2+h﹣9)=0求出h=4,從而得出結(jié)論.

解:(1)拋物線解析式y(tǒng)=ax2+bx+3經(jīng)過A(﹣3,0),B(﹣1,0)兩點(diǎn),

解得,

拋物線的解析式為y=x2+4x+3.

(2)由(1)配方得y=(x+2)2﹣1,

拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M(﹣2,﹣1),

直線OD的解析式為y=x,

于是可設(shè)平移后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h,h),

平移后的拋物線的解析式為y=(x﹣h)2+h,

當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)C時(shí),C(0,9),

h2+h=9.

解得h=,

當(dāng)≤h<時(shí),平移后的拋物線與射線CD只有一個(gè)公共點(diǎn);

當(dāng)拋物線與直線CD只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),

由方程組,

得x2+(﹣2h+2)x+h2+h﹣9=0,

∴△=(﹣2h+2)2﹣4(h2+h﹣9)=0,

解得h=4,

此時(shí)拋物線y=(x﹣4)2+2與直線CD唯一的公共點(diǎn)為(3,3),點(diǎn)(3,3)在射線CD上,符合題意.

故平移后拋物線與射線CD只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),頂點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍是≤h<或h=4.

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