Question

如圖，一塊直徑為10cm（即AB=10cm）的量角器，若將量角器與∠MPN按如圖1疊放（A與P重合，AB與PM重合），并已知點B、C、A處的讀數(shù)分別為0°、40°、180°．

（1）∠MPN的度數(shù)是

 

．
（2）求線段PC的長．
（3）在圖1的狀態(tài)下，∠MPN不動，將量角器沿著射線PM向右平移（如圖2），問平移多少厘米后量角器與PN相切于點D？切點D處的讀數(shù)是多少？（可用計算器，結果精確到0.1cm）

Answer 1

考點：切線的性質,圓周角定理,解直角三角形

專題：

分析：（1）如圖1，連接OC，利用“在同圓中，同弧所對的圓周角是所對的圓心角的一半”填空；
（2）如圖1，連接BC．構建直角△ACB，通過解直角三角形來求PC的長度；
（3）如圖2，連接OD．利用切線的性質判定△PDO是直角三角形，通過解該直角三角形來求PA的長度；由三角形外角定理來求點D所表示的讀數(shù)．

解答：解：（1）如圖1，
∵點B、C、A處的讀數(shù)分別為0°、40°、180°，
∴∠COB=40°，
∴∠MPN=

1

2

∠COB=20°．
故填：20°；

（2）如圖1，連接BC．
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∴cos20°=

PC

AB

．
即PC=AB•cos20°=10×cos20°≈10×0.94=9.4（cm）；

（3）如圖2，連接OD．
∵PD與半圓切于點D，
∵∠PDO=90°．
則在Rt△PDO中，由于∠P=20°，OD=5cm，
∴sin20°=

5

OP

，OP=

5

sin20°

≈14.6．
∴PA=14.6-5=9.6（cm）．
又∵∠DOM=90°+20°=110°，
∴切點D處的讀數(shù)為110°．

點評：本題考查了切線的性質，圓周角定理和解直角三角形．解題時，需要熟悉量角器的使用方法．