【題目】如圖,經(jīng)過點A(0,6)的拋物線y= x2+bx+c與x軸相交于B(﹣2,0)、C兩點.

(1)求此拋物線的函數(shù)關(guān)系式和頂點D的坐標(biāo);
(2)求直線AC所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
(3)將(1)中求得的拋物線向左平移1個單位長度,再向上平移m(m>0)個單位長度得到新拋物線y1 , 若新拋物線y1的頂點P在△ABC內(nèi),求m的取值范圍;
(4)在(3)的結(jié)論下,新拋物線y1上是否存在點Q,使得△QAB是以AB為底邊的等腰三角形,請分析所有可能出現(xiàn)的情況,并直接寫出相對應(yīng)的m的取值范圍.

【答案】
(1)

解:把A(0,﹣6)、B(﹣2,0)代入y= x2+bx+c得 ,解得

所以拋物線解析式為y= x2﹣2x﹣6;

因為y= (x﹣2)2﹣8,

所以頂點D的坐標(biāo)為(2,﹣8);


(2)

解:當(dāng)y=0時, x2﹣2x﹣6=0,解得x1=﹣2,x2=6,則C(6,0),

設(shè)直線AC的解析式為y=mx+n,

把A(0,﹣6),C(6,0)代入得 ,解得 ,

所以直線AC的解析式為y=x﹣6;


(3)

解:拋物線y= (x﹣2)2﹣8向左平移1個單位長度,再向上平移m(m>0)個單位長度得到新拋物線y1的解析式為y= (x﹣1)2﹣8+m,

當(dāng)x=1時,y=x﹣6=﹣5,

∵新拋物線y1的頂點P在△ABC內(nèi),

∴﹣5<﹣8+m<0,

∴3<m<8;


(4)

解:作AB的垂直平分線交x軸于E,交AB與F,如圖,

AB= =2 ,則BF= ,

∵∠BEF=∠BAO,

∴Rt△BEF∽Rt△BAO,

= ,即 = ,解得BE=10,

∴E(8,0),

而F(﹣1,﹣3),

設(shè)直線EF的解析式為y=kx+b,

把E(8,0),F(xiàn)(﹣1,﹣3)代入得 ,解得 ,

∴直線EF的解析式為y= x﹣ ,

把方程 (x﹣1)2﹣8+m= x﹣ ,整理得3x2﹣8x+6m﹣29=0,

△=(﹣8)2﹣4×3×(6m﹣29)=﹣72m+412,

當(dāng)△=0,即﹣72m+412=0,解得m= 時,拋物線y1與直線EF只有一個公共點,此時拋物線y1上存在一個點Q,使得△QAB是以AB為底邊的等腰三角形;

當(dāng)△>0,即﹣72m+412>0,解得m< ,則m的范圍為3<m< ,拋物線y1與直線EF有兩個公共點,此時拋物線y1上存在兩個點Q,使得△QAB是以AB為底邊的等腰三角形;

當(dāng)△<0,即﹣72m+412<0,解得m> 時,則m的范圍為 <m<8,拋物拋物線y1與直線EF沒有公共點,此時拋物線y1上不存在一個點Q,使得△QAB是以AB為底邊的等腰三角形.


【解析】(1)把A點和B點坐標(biāo)代入y= x2+bx+c得關(guān)于b、c的方程組,然后解方程求出b、c即可得到拋物線解析式,然后把一般式配成頂點式可得頂點D的坐標(biāo);(2)先解方程 x2﹣2x﹣6=0得C(6,0),然后利用待定系數(shù)法求直線AC的解析式;(3)利用拋物線的平移規(guī)律得到新拋物線y1的解析式為y= (x﹣1)2﹣8+m,再計算出新拋物線的對稱軸與直線AC的交點坐標(biāo),從而得到﹣5<﹣8+m<0,然后解不等式得到m的范圍;(4)作AB的垂直平分線交x軸于E,交AB與F,如圖,證明Rt△BEF∽Rt△BAO,利用相似比計算出BE=10,則E(8,0),則利用待定系數(shù)法可確定直線EF的解析式為y= x﹣ ,然后通過判斷方程 (x﹣1)2﹣8+m= x﹣ 的根的情況確定拋物線y1與直線EF的公共點的個數(shù),從而可判斷新拋物線y1上是否存在點Q,使得△QAB是以AB為底邊的等腰三角形,再寫出對應(yīng)的m的范圍.
【考點精析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知增減性:當(dāng)a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減小;對稱軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減。

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】問題背景:
如圖①,在四邊形ADBC中,∠ACB=∠ADB=90°,AD=BD,探究線段AC,BC,CD之間的數(shù)量關(guān)系.
小吳同學(xué)探究此問題的思路是:將△BCD繞點D,逆時針旋轉(zhuǎn)90°到△AED處,點B,C分別落在點A,E處(如圖②),易證點C,A,E在同一條直線上,并且△CDE是等腰直角三角形,所以CE= CD,從而得出結(jié)論:AC+BC= CD.
簡單應(yīng)用:

(1)在圖①中,若AC= ,BC=2 ,則CD=
(2)如圖③,AB是⊙O的直徑,點C、D在⊙上, = ,若AB=13,BC=12,求CD的長.
拓展規(guī)律:
(3)如圖④,∠ACB=∠ADB=90°,AD=BD,若AC=m,BC=n(m<n),求CD的長(用含m,n的代數(shù)式表示)
(4)如圖⑤,∠ACB=90°,AC=BC,點P為AB的中點,若點E滿足AE= AC,CE=CA,點Q為AE的中點,則線段PQ與AC的數(shù)量關(guān)系是

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】林華在2018年共兩次到某商場按照標(biāo)價購買了A,B兩種商品,其購買情況如下表:

購買A商品的數(shù)量(個

購買B商品的數(shù)量(個

購買兩種商品的總費用(元)

第一次購買

6

5

1140

第二次購買

3

7

1110

(1)分別求出A、B兩種商品的標(biāo)價。

(2)最近商場實行2019新春的促銷活動,A,B兩種商品都打折且折扣數(shù)相同,于是林華前往商場花1062元又購買了9A商品和8B商品,試問本次促銷活動中A,B商品的折扣數(shù)都為多少?在本次購買中,林華共節(jié)約了多少錢?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某房產(chǎn)開發(fā)公司對一幢住宅樓的標(biāo)價是:基價2580/平方米,樓層差價如下表:

老王買了面積為80平方米的三樓.

1)問老王花了多少錢?

2)若他用同樣多的錢去買六樓,請你幫老王算一算他可以多買多少平方米的房子?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某校為了了解九年級學(xué)生的體能情況,抽調(diào)了一部分學(xué)生進行一分鐘跳繩測試,將測試成績整理后作出如圖所示的統(tǒng)計圖. 甲同學(xué)計算出前兩組的頻率和是0.12,乙同學(xué)計算出跳繩次數(shù)不少于100次的同學(xué)占96%,丙同學(xué)計算出從左至右第二、三、四組的頻數(shù)的比為41715,則本次測試共抽調(diào)的人數(shù)為( )

A. 120 B. 150 C. 180 D. 無法確定

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在數(shù)軸上有A,B,CD,E五個整數(shù)點(即各點均表示整數(shù)),且AB2BC3CD4DE,若AE兩點表示的數(shù)的分別為-1312,那么,該數(shù)軸上上述五個點所表示的整數(shù)中,離線段AE的中點最近的整數(shù)是( 。

A. 1 B. 5 C. 6 D. 8

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】保護視力要求人寫字時眼睛和筆端的距離應(yīng)超過30cm,圖1是一位同學(xué)的坐姿,把他的眼睛B,肘關(guān)節(jié)C和筆端A的位置關(guān)系抽象成圖2的△ABC,已知BC=30cm,AC=22cm,∠ACB=53°,他的這種坐姿符合保護視力的要求嗎?請說明理由.(參考數(shù)據(jù):sin53°≈0.8,cos53°≈0.6,tan53°≈1.3)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】問題情景:
如圖,在直角坐標(biāo)系xOy中,點A、B為二次函數(shù)y=ax2(a>0)圖象上的兩點,且點A、B的橫坐標(biāo)分別為m、n(m>n>0),連接OA、AB、OB.設(shè)△AOB的面積為S時,解答下列問題:

(1)探究:當(dāng)a=1時,

mn

m﹣n

S

m=3,n=1

3

2

m=5,n=2

10

3

當(dāng)a=2時,

2mn

m﹣n

S

m=3,n=1

6

2

m=5,n=2

20

3


(2)歸納證明:對任意m、n(m>n>0),猜想S=(用a,m,n表示),并證明你的猜想.
(3)拓展應(yīng)用:
若點A、B的橫坐標(biāo)分別為m、n(m>0>n),其它條件不變時,△AOB的面積S=(用a,m,n表示).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某市三景區(qū)是人們節(jié)假日游玩的熱點景區(qū),某學(xué)校對九(1)班學(xué)生“五一”小長假隨父母到這三個景區(qū)游玩的計劃做了全面調(diào)查,調(diào)查分四個類別,A:三個景區(qū);B:游兩個景區(qū);C:游一個景區(qū);D:不到這三個景區(qū)游玩,現(xiàn)根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了不完全的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖如下:
請結(jié)合圖中信息解答下列問題:
(1)九(1)班現(xiàn)有學(xué)生人,在扇形統(tǒng)計圖中表示“B類別”的扇形的圓心角的度數(shù)為
(2)請將條形統(tǒng)計圖補充完整;
(3)若該校九年級有1000名學(xué)生,求計劃“五一”小長假隨父母到這三個景區(qū)游玩的學(xué)生多少名?

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案