Question

如圖，在等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D為BC的中點，DE⊥AB，垂足為E，過點B作BF∥AC交DE的延長線于點F，連CF，交AB于點G、交AD于點M，連DG．
（1）求證：AD⊥CF；
（2）求證：∠ADC=∠BDG；
（3）連AF，試判斷△ACF的形狀，并說明理由．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：證明題

分析：（1）利用等腰直角三角形的性質(zhì)得∠CAB=45°，再由BF∥AC得∠CBF=∠ACB=90°，則∠ABF=∠CBA=45°，即BE平分∠DBF，于是可判斷AB垂直平分DF，接著利用“SAS”證明△ACD≌△CBF，則∠2=∠1，易得∠2+∠3=90°，從而可判斷AD⊥CF；
（2）先根據(jù)“SAS”判斷△BDG≌△BFG得到∠BDG=∠BFG，加上△ACD≌△CBF得∠ADC=∠CFB，所以∠ADC=∠BDG；
（3）由于AB垂直平分DF，則AF=AD，再由△ACD≌△CBF得AD=CF，所以AF=CF，于是可判斷△ACF為等腰三角形．

解答：（1）證明：∵△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90°
∴∠CAB=45°，
∵BF∥AC，
∴∠CBF=∠ACB=90°，
∴∠ABF=∠CBA=45°，即BE平分∠DBF，
而DE⊥AB，
∴AB垂直平分DF，
∴BD=BF，
∵D點為BC的中點，
∴DC=DB，
∴CD=BF，
在△ACD和△CBF中，

AC=CB ∠ACD=∠CBF CD=BF

，
∴△ACD≌△CBF（SAS），
∴∠2=∠1，
∵∠1+∠3=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠AMC=90°，
∴AD⊥CF；
（2）證明：在△BGD和△BFG中，

BD=BF ∠DBG=∠FBG BG=BG

，
∴△BDG≌△BFG（SAS），
∴∠BDG=∠BFG，
∵△ACD≌△CBF，
∴∠ADC=∠CFB，
∴∠ADC=∠BDG；
（3）解：△ACF為等腰三角形．理由如下：
∵AB垂直平分DF，
∴AF=AD，
∵△ACD≌△CBF，
∴AD=CF，
∴AF=CF，
∴△ACF為等腰三角形．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸�條件．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和等腰三角形的判定．