Question

【題目】如圖1，拋物線y＝ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線上(與A，B兩點(diǎn)不重合)，若△ABP的三邊滿足AP2+BP2＝AB2，則我們稱點(diǎn)P為拋物線y＝ax2+bx+c(a≠0)的勾股點(diǎn)．

(1)直接寫出拋物線y＝x2﹣1的勾股點(diǎn)坐標(biāo)為_____；

(2)如圖2，已知拋物線：y＝ax2+bx(a＜0，b＞0)與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P為拋物線的頂點(diǎn)，問點(diǎn)P能否為拋物線的勾股點(diǎn)，若能，求出b的值；

(3)如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(2，0)，B(12，0)，點(diǎn)P到x軸的距離為1，點(diǎn)P是過A、B兩點(diǎn)的拋物線上的勾股點(diǎn)，求過P、A、B三點(diǎn)的拋物線的解析式和點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1)(0，﹣1)；(2)當(dāng)b＝2時(shí)，點(diǎn)P為拋物線的勾股點(diǎn)；(3)當(dāng)過P，A，B三點(diǎn)的拋物線的解析式為y＝﹣x2+14x﹣24時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(7﹣2，1)或(7+2，1)；當(dāng)過P，A，B三點(diǎn)的拋物線的解析式為y＝x2﹣14x+24時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(7﹣2，﹣1)或(7+2，﹣1)．

【解析】

（1）根據(jù)拋物線 可知與 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)及的長度，設(shè)勾股點(diǎn)的坐標(biāo)為，再根據(jù)勾股點(diǎn)的定義可求出勾股點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）利用配方法可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，由點(diǎn)為拋物線的勾股點(diǎn)可知為等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性質(zhì)即可求出的值；

（3）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，由到 軸的距離為1可知 ，根據(jù)勾股點(diǎn)的定義可列出關(guān)于的一元二次方程，即可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，由點(diǎn) 三點(diǎn)可設(shè)拋物線的解析式為 ，由的坐標(biāo)利用系數(shù)待定法可求出該拋物線的解析式.

解：(1)當(dāng)時(shí)， ，

解之得： ，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為 ，點(diǎn)B的坐標(biāo)為 ， ．

設(shè)拋物線的勾股點(diǎn)坐標(biāo)為，

∴ ，

∴ ．

∵ ，

∴ ，

∴ ，

解得： ．

當(dāng) 時(shí)， ，

解得： ．

∴拋物線 的勾股點(diǎn)坐標(biāo)為 ．

故答案為： ．

(2)∵，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ．

若點(diǎn)P能為拋物線的勾股點(diǎn)，則為等腰直角三角形，

∴ ，

∴．

∴當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P為拋物線的勾股點(diǎn)．

(3)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ．

∵點(diǎn)P到x軸的距離為1，

∴．

∵ ，點(diǎn)A的坐標(biāo)為 ，點(diǎn)B的坐標(biāo)為 ，

根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式

∴ ，

∴ ，

解得： ．

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為，．

設(shè)過P，A，B三點(diǎn)的拋物線的解析式為 ，

當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為 時(shí)，將 代入 ，解之得：

，

∴設(shè)過P，A，B三點(diǎn)的拋物線的解析式為 ，即 ．

同理：當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為 時(shí)，過P，A，B三點(diǎn)的拋物線的解析式為 ；

當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為 時(shí)，過P，A，B三點(diǎn)的拋物線的解析式為 ；

當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為 時(shí)，過P，A，B三點(diǎn)的拋物線的解析式為 ．

綜上所述：當(dāng)過P，A，B三點(diǎn)的拋物線的解析式為 時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為 或 ；

當(dāng)過P，A，B三點(diǎn)的拋物線的解析式為 時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為 或 ．