Question

如圖，AB是⊙O的直徑，C是

BD

的中點，CE⊥AB于E，BD交CE于F，
（1）求證：CF=BF；
（2）若tan∠CDM=2，求sin∠ABD的值．

Answer 1

考點：圓周角定理,圓心角、弧、弦的關(guān)系,解直角三角形

專題：

分析：（1）首先延長CE交⊙O于點G，由AB是⊙O的直徑，CE⊥AB，根據(jù)垂徑定理可得：

BC

=

BG

，又由C是

BD

的中點，即可證得

CD

=

BG

，由圓周角定理可得∠BCF=∠CBF，即可證得CF=BF；
（2）由圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得∠ABC=∠DCM，即可得tan∠ABC=

CE

BE

=2，然后設(shè)CE=2x，BE=x，可得BF=CF=CE-EF=2x-EF，又在Rt△BEF中，EF²+BE²=BF²，即可求得EF的長，繼而求得答案．

解答：（1）證明：延長CE交⊙O于點G，
∵AB是⊙O的直徑，CE⊥AB，
∴

BC

=

BG

，
∵C是

BD

的中點，
∴

CD

=

BC

，
∴

CD

=

BG

，
∴∠BCF=∠CBF，
∴CF=BF；

（2）解：∵∠CDM+∠ADC=180°，∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABC=∠DCM，
∵tan∠CDM=2，
∴tan∠ABC=

CE

BE

=2，
設(shè)CE=2x，BE=x，
∴BF=CF=CE-EF=2x-EF，
在Rt△BEF中，EF²+BE²=BF²，
∴EF²+x²=（2x-EF）²，
解得：EF=

3

4

x，
∴BF=2x-EF=

5

4

x，
∴sin∠ABD=

EF

BF

=

3

5

．

點評：此題考查了圓周角定理、垂徑定理、圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、勾股定理以及銳角三角函數(shù)的知識．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．