Question

如圖，AB為⊙O的直徑，C為AE的中點，連結(jié)AE交BC于F點．
（1）求證：AC²=CF•CB；
（2）延長AE至D點，若FD=FB=4，CF=2，試判斷BD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

考點：切線的判定,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）先利用圓周角定理得到∠ABC=∠CAE，再證明△CAF∽△CBA，利用相似比和比例的性質(zhì)即可得到AC²=CF•CB；
（2）先利用（1）的結(jié)論計算出AC=2

3

，再根據(jù)圓周角定理得∠ACB=90°，利用特殊角的三角函數(shù)值可求出∠ABC=30°，則∠CAE=30°，易得∠AFC=∠BFD=60°，接著判定△FBD為等邊三角形，得到∠FBD=60°，所以∠ABD=∠ABC+∠FBD=90°，然后根據(jù)切線的判定定理可判斷BD為⊙O的切線．

解答：（1）證明：∵C為AE的中點，
∴

AC

=

CE

，
∴∠ABC=∠CAE，
而∠ACF=∠BCA，
∴△CAF∽△CBA，
∴CA：CB=CF：CA
∴AC²=CF•CB；
（2）解：BD與⊙O相切．理由如下：
∵CB=CF+FB=6，CF=2，
∴AC²=CF•CB=2×6，即AC=2

3

，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴tan∠ABC=

AC

BC

=

2 3

6

=

3

3

，
∴∠ABC=30°，
∴∠CAE=30°，
∴∠AFC=60°，
∴∠BFD=60°，
而FB=FD，
∴△FBD為等邊三角形，
∴∠FBD=60°，
∴∠ABD=∠ABC+∠FBD=90°，
∴AB⊥BD，
∴BD為⊙O的切線．

點評：本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．也考查了圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)．