Question

已知：如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，對角線AC、BD相交于點(diǎn)F，點(diǎn)E是邊BC延長線上一點(diǎn)，且∠CDE=∠ABD．
（1）求證：四邊形ACED是平行四邊形；
（2）連接AE，交BD于點(diǎn)G，求證：

DG

GB

=

DF

DB

．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),平行四邊形的判定

專題：證明題

分析：（1）證△BAD≌△CDA，推出∠ABD=∠ACD=∠CDE，推出AC∥DE即可；
（2）根據(jù)平行得出比例式，再根據(jù)比例式的性質(zhì)進(jìn)行變形，即可得出答案．

解答：證明：（1）∵梯形ABCD，AD∥BC，AB=CD，
∴∠BAD=∠CDA，
在△BAD和△CDA中

AD=AD ∠BAD=∠CDA AB=CD

∴△BAD≌△CDA（SAS），
∴∠ABD=∠ACD，
∵∠CDE=∠ABD，
∴∠ACD=∠CDE，
∴AC∥DE，
∵AD∥CE，
∴四邊形ACED是平行四邊形；

（2）∵AD∥BC，
∴

AD

BE

=

DG

GB

，

BC

AD

=

BF

DF

，
∴

BC+AD

AD

=

BF+DF

DF

，
∵平行四邊形ACED，AD=CE，
∴

BC+CE

AD

=

BF+DF

DF

，
∴

BE

AD

=

BD

DF

，
∴

AD

BE

=

DF

BD

，
∴

DG

GB

=

DF

DB

．

點(diǎn)評：本題考查了比例的性質(zhì)，平行四邊形的判定，平行線的判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力，題目比較好，難度適中．