Question

如圖，△ABC的三個頂點都在⊙O上，N為

BC

的中點，M為

AC

的中點，AN與BM交于點P，證明：NB=NP．

Answer 1

考點：圓周角定理,圓心角、弧、弦的關(guān)系

專題：證明題

分析：根據(jù)圓周角的定理得出∠MBN的度數(shù)=

1

2

MC

的度數(shù)+

1

2

NC

的度數(shù)，∠BAN的度數(shù)=

1

2

BN

的度數(shù)，∠ABM的度數(shù)=

1

2

AM

的度數(shù)，根據(jù)三角形外角定理得出∠BPN=∠ABM+∠BAN，進而求得∠MBN的度數(shù)=

1

4

（

AC

的度數(shù)+

BC

的度數(shù)），∠BPN的度數(shù)=

1

4

（

AC

的度數(shù)+

BC

的度數(shù)），從而證得∠MBN=∠BPN，根據(jù)等角對等邊即可證得．

解答：證明：∵N為

BC

的中點，M為

AC

的中點，
∴

AM

=

MC

=

1

2

AC

，

NC

=

NB

=

1

2

BC

，
∵∠MBN的度數(shù)=

1

2

MC

的度數(shù)+

1

2

NC

的度數(shù)，∠BAN的度數(shù)=

1

2

BN

的度數(shù)，∠ABM的度數(shù)=

1

2

AM

的度數(shù)，
又∵∠BPN=∠ABM+∠BAN，
∴∠MBN的度數(shù)=

1

4

（

AC

的度數(shù)+

BC

的度數(shù)），∠BPN的度數(shù)=

1

4

（

AC

的度數(shù)+

BC

的度數(shù)），
∴∠MBN=∠BPN，
∴NB=NP．

點評：此題考查圓周角的定理以及三角形外角定理，掌握基礎(chǔ)知識是解決問題的關(guān)鍵．