Question

已知：如圖，點(diǎn)D是以AB為直徑的圓O上任意一點(diǎn)，且不與點(diǎn)A、B重合，點(diǎn)C是弧BD的中點(diǎn)，過C作CE∥AB，交AD或其延長(zhǎng)線于E，連結(jié)B交AC于G．
（1）求證：AE=CE；
（2）若過點(diǎn)C作CM⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M．試說明：MC與⊙O相切；
（3）若CE=7，CD=6，求CG的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：綜合題

分析：（1）由于弧CB=弧CD，根據(jù)圓周角定理得∠CAB=∠CAD；再根據(jù)平行線的性質(zhì)由CE∥AB得∠ACE=∠CAB，則∠ACE=∠CAD，于是根據(jù)等腰三角形的判定定理有
AE=CE；
（2）連接OC，如圖，由于∠OAC=∠OCA，∠OAC=∠CAD，則∠OCA=∠CAD，根據(jù)平行線的判定得到OC∥AD，而CM⊥AD，于是根據(jù)平行線的性質(zhì)得CM⊥OC，然后根據(jù)切線的判定定理即可得到MC與⊙O相切；
（3）由弧CB=弧CD得到CB=CD=6，再由OC∥AE，CE∥OA可判斷四邊形OAEC為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得OA=CE=7，則AB=14，然后根據(jù)圓周角定理由
AB為⊙O的直徑得∠ACB=90°，則根據(jù)勾股定理可計(jì)算出AC=4

10

，接著證明△GCE∽△GAB，利用相似比得到

CG

AG

=

1

2

，于是可利用CG=

1

3

AC進(jìn)行計(jì)算．．

解答：（1）證明：∵點(diǎn)C是弧BD的中點(diǎn)，
∴弧CB=弧CD，
∴∠CAB=∠CAD，
∵CE∥AB，
∴∠ACE=∠CAB，
∴∠ACE=∠CAD，
∴AE=CE；

（2）解：連接OC，如圖，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
而∠OAC=∠CAD，
∴∠OCA=∠CAD，
∴OC∥AD，
∵CM⊥AD，
∴CM⊥OC，
∴MC與⊙O相切；

（3）解：∵弧CB=弧CD，
∴CB=CD=6，
∵OC∥AE，CE∥OA，
∴四邊形OAEC為平行四邊形，
∴OA=CE=7，
∴AB=14，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，BC=6，AB=14，
∴AC=

AB2-BC2

=4

10

，
∵CE∥AB，
∴△GCE∽△GAB，
∴

CG

AG

=

CE

AB

=

7

14

=

1

2

，
∴CG=

1

3

AC=

4 10

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定、圓周角定理和切線的判定定理；會(huì)運(yùn)用勾股定理和相似比進(jìn)行幾何計(jì)算．