【題目】如圖,拋物線y=﹣x2﹣2x+3的圖象與x軸交A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn).

(1)求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo);
(2)點(diǎn)M為線段AB上一點(diǎn)(點(diǎn)M不與點(diǎn)A、B重合),過(guò)M作x軸的垂線,與直線AC交于點(diǎn)E,與拋物線交于點(diǎn)P,過(guò)P作PQ∥AB交拋物線于點(diǎn)Q,過(guò)Q作QN⊥x軸于N,當(dāng)矩形PMNQ的周長(zhǎng)最大時(shí),求△AEM的面積;
(3)在(2)的條件下,當(dāng)矩形PMNQ的周長(zhǎng)最大時(shí),連接DQ,過(guò)拋物線上一點(diǎn)F作y軸的平行線,與直線AC交于點(diǎn)G(點(diǎn)G在點(diǎn)F的上方),若FG=2 DQ,求點(diǎn)F的坐標(biāo).

【答案】
(1)

解:當(dāng)y=0時(shí),﹣x2﹣2x+3=0,解得x1=1,x2=﹣3,則A(﹣3,0),B(1,0);當(dāng)x=0時(shí),y=﹣x2﹣2x+3=3,則C(0,3);


(2)

解:拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=﹣1,

設(shè)M(x,0),則點(diǎn)P(x,﹣x2﹣2x+3),(﹣3<x<﹣1),

∵點(diǎn)P與點(diǎn)Q關(guān)于直線=﹣1對(duì)稱(chēng),

∴點(diǎn)Q(﹣2﹣x,﹣x2﹣2x+3),

∴PQ=﹣2﹣x﹣x=﹣2﹣2x,

∴矩形PMNQ的周長(zhǎng)=2(﹣2﹣2x﹣x2﹣2x+3)=﹣2x2﹣8x+2=﹣2(x+2)2+10,

當(dāng)x=﹣2時(shí),矩形PMNQ的周長(zhǎng)最大,此時(shí)M(﹣2,0),

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,

把A(﹣3,0),C(0,3)代入得 ,解得

∴直線AC的解析式為y=3x+3,

當(dāng)x=﹣2時(shí),y=x+3=1,

∴E(﹣2,1),

∴△AEM的面積= ×(﹣2+3)×1=


(3)

解:當(dāng)x=﹣2時(shí),Q(0,3),即點(diǎn)C與點(diǎn)Q重合,

當(dāng)x=﹣1時(shí),y=﹣x2﹣2x+3=4,則D(﹣1,4),

∴DQ= =

∴FG=2 DQ=2 × =4,

設(shè)F(t,﹣t2﹣2t+3),則G(t,t+3),

∴GF=t+3﹣(﹣t2﹣2t+3)=t2+3t,

∴t2+3t=4,解得t1=﹣4,t2=1,

∴F點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣4,﹣5)或(1,0).


【解析】(1)解方程﹣x2﹣2x+3=0可得A點(diǎn)和B點(diǎn)坐標(biāo);計(jì)算自變量為0時(shí)的函數(shù)值可得到C點(diǎn)坐標(biāo);(2)先確定拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=﹣1,設(shè)M(x,0),則點(diǎn)P(x,﹣x2﹣2x+3),(﹣3<x<﹣1),利用對(duì)稱(chēng)性得到點(diǎn)Q(﹣2﹣x,﹣x2﹣2x+3),PQ=﹣2﹣2x,所以矩形PMNQ的周長(zhǎng)=2(﹣2﹣2x﹣x2﹣2x+3),利用二次函數(shù)得到當(dāng)x=﹣2時(shí),矩形PMNQ的周長(zhǎng)最大,此時(shí)M(﹣2,0),接著利用待定系數(shù)法確定直線AC的解析式為y=3x+3,從而得到E(﹣2,1),然后根據(jù)三角形面積公式求解;(3)當(dāng)x=﹣2時(shí)得到Q(0,3),再確定D(﹣1,4),則DQ= ,所以FG=2 DQ=4,設(shè)F(t,﹣t2﹣2t+3),則G(t,t+3),所以GF=t+3﹣(﹣t2﹣2t+3)=t2+3t,于是得到方程t2+3t=4,然后解方程求出t即可得到F點(diǎn)坐標(biāo).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,兩直線AB,CD相交于點(diǎn)O,已知OE平分BOD,且AOC:AOD=3:7,

1DOE的度數(shù);

2若OFOE,求COF的度數(shù)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,有以下3句話:①AB∥CD,②∠B=∠C、③∠E=∠F、請(qǐng)以其中2句話為條件,第三句話為結(jié)論構(gòu)造命題.

(1)你構(gòu)造的是哪幾個(gè)命題?

(2)你構(gòu)造的命題是真命題還是假命題?請(qǐng)加以證明.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖1,平移三角形ABD,使點(diǎn)D沿BD的延長(zhǎng)線平移至點(diǎn)C,得到三角形A'B'D',A'B'AC于點(diǎn)E,AD平分∠BAC

1)猜想B'EC與∠A'之間的關(guān)系,并寫(xiě)出理由;

2)如果將三角形ABD平移至如圖2所示位置,得到△A'B'D',請(qǐng)問(wèn)A'D'平分∠B'A'C嗎?為什么?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,四邊形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AD=1cm,AB=3cm,BC=5cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以1cm/s的速度沿BC的方向運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)以2cm/s的速度沿CD方向運(yùn)動(dòng),P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),當(dāng)Q到達(dá)點(diǎn)D時(shí)停止運(yùn)動(dòng),點(diǎn)P也隨之停止,設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts(t>0)
(1)求線段CD的長(zhǎng);
(2)t為何值時(shí),線段PQ將四邊形ABCD的面積分為1:2兩部分?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,在ABC中,ADBCD,BD=AD,DG=DC,E,F分別是BG,AC的中點(diǎn).

1)求證:DE=DF,DEDF;

2)連接EF,若AC=10,求EF的長(zhǎng).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】求下列各式中x的值.

(1) (x-1)3=27;

(2)x3+1=-;

(3)(2x+3)3=54;

(4) 27(2x-1)3+2=66.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知,如圖,A是⊙O上一點(diǎn),半徑OC的延長(zhǎng)線與過(guò)點(diǎn)A的直線交于B點(diǎn),OC=BC,AC= OB.
(1)求證:AB是⊙O的切線;
(2)若∠ACD=45°,OC=2,求弦AD的長(zhǎng).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查,得到某種圖書(shū)每月的銷(xiāo)售與售價(jià)的關(guān)系為函數(shù)關(guān)系如下表:

售價(jià)(元/本)

50

55

60

65

月銷(xiāo)量(本)

2000

1800

1600

1400

已知該圖書(shū)的進(jìn)價(jià)為每本30元,設(shè)售價(jià)為x元.
(1)請(qǐng)用含x的式子表示:①銷(xiāo)售該圖書(shū)每本的利潤(rùn)是元,②月銷(xiāo)量是件.(用x表示直接寫(xiě)出結(jié)果)
(2)若銷(xiāo)售圖書(shū)的月利潤(rùn)為48000元,則每本圖書(shū)需要售價(jià)多少元?
(3)設(shè)銷(xiāo)售該圖書(shū)的月利潤(rùn)為y元,那么售價(jià)為多少時(shí),當(dāng)月的利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)是多少?

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案